1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题课标解读课标要求素养要求1.能用向量语音表述点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离.2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题 1.数学抽象会用向量语音表述空间距离.2.逻辑推理运用向量运算求解空间距离的原理.3.数学运算能够用空间向量的坐标运算解决空间距离问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.如图,设AP=a ,则向量AP 在直线l 上的投影向量AQ=(au)u ,
2、点 到直线l 的距离PQ=|AP|2-|AQ|2=a2-(au)2 .要点二 点到平面的距离已知平面 的法向量为n ,A 是平面 内的定点, 是平面 外一点,则点P 到平面 的距离d=|APn|n| .自主思考1.若直线l 的方向向量为m=(x,y) ，如何求直线l 的单位向量?提示 u=m|m|=(xx2+y2,yx2+y2).2.当点 在平面 内,该公式还成立吗?求直线到平面的距离可以用该公式吗?提示 成立,此时AP=0 ,所以d=0 .可以,求直线到平面的距离可以转化为点到平面的距离,因此可以用该公式. 名师点睛1.点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，因为直线与直线外一点确定一个平
3、面，所以空间中的点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内的点到直线的距离问题.2.如果直线l 与平面 平行，可在直线l 上任取一点P ，将直线l 到平面 的距离转化为点P 到平面 的距离求解.3.两个平行平面之间的距离，如果两个平面, 互相平行，可在其中一个平面 内任取一点P ，将两个平行平面之间的距离转化为点P 到平面 的距离求解.互动探究关键能力 探究点一 点到直线的距离精讲精练例 如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1 ，点M 是线段DC1 上的动点，试求点M 到直线AD1 距离的最小值.答案：设M(0,m,m)(0ma) ，直线AD1 的一个单位方向向
4、量为s ，易知s=(-22,0,22),MD1=(0,-m,a-m),故点M 到直线AD1 的距离d=|MD1|2-(MD1s)2=m2+(a-m)2-12(a-m)2=32m2-am+12a2=32(m-a3)2+13a2 ， 当m=a3 时，d 取得最小值，为13a2=33a ，故d的最小值为33a .解题感悟向量法求点N 到直线l 的距离的步骤：（1）依据图形先求出直线l 的单位方向向量s. （2）在直线l 上任取一点M （M 可选择特殊、便于计算的点），计算点M 与直线l 外的点N 的方向向量MN .（3）要知垂线段的长度可利用d=|MN|2-(MNs)2 计算.迁移应用（2021天津
5、和平汇文中学高二第一次质检）已知直线l 的方向向量为m=(1,2,-1) ，若点P(-1,1,-1) 为直线l 外一点，A(4,1,-2) 为直线l 上一点，则P 到直线l 的距离为 .答案：17解析：易知PA=(5,0,-1),m|m|=(12,22,-12) ，P 到直线l 的距离d=|PA|2-(PAm|m|)2=52+0+(-1)2-(52+0+12)2=26-9=17 .探究点二 点到平面的距离精讲精练例 已知正方形ABCD 的边长为1，PD 平面ABCD ，且PD=1,E,F 分别为AB,BC 的中点.求点D 到平面PEF 的距离.思路分析 以点D 为坐标原点，DA,DC,DP 分
6、别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式d=|DEn|n| ，即可得到答案.答案：以点D 为坐标原点，DA,DC,DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,1) ，A(1,0,0) ，D(0,0,0) ，E(1,12,0) ，F(12,1,0) ，所以EF=(-12,12,0) ，PE=(1,12,-1) ，DE=(1,12,0) ，设平面PEF 的法向量为n=(x,y,z) ，则nEF=0,nPE=0, 即-12x+12y=0,x+12y-z=0,令x=2 ，则y=2,z=3 ，所以n=(2,2,3) ，所以点D
7、 到平面PEF 的距离d=|DEn|n|=|2+1|4+4+9=31717 .解题感悟求点到平面的距离的四个步骤：（1）建系，结合图形特点建立空间直角坐标系；（2）求向量，在空间直角坐标系中求出点P 与平面内任一定点A 对应的向量AP ；（3）求平面的法向量；（4）代入点到平面的距离公式求解.迁移应用如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1=2 ，AB=1 ，N 是CC1 的中点.（1）求证：平面ANB1 平面AA1B1B ；（2）求三棱锥B1-ANB 的高.答案：（1）证明 取AB 的中点O ，A1B1 的中点M ，连接OC,OM ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OM 所在直
8、线为y 轴，OC 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.则A(12,0,0),N(0,1,32),B1(-12,2,0),B(-12,0,0) ，AN=(-12,1,32),AB1=(-1,2,0),AB=(-1,0,0) .证明：设平面ANB1 的法向量为n=(x,y,z) ，则nAB1=-x+2y=0,nAN=-12x+y+32z=0,取y=1 ，得n=(2,1,0) ，易知平面AA1B1B 的一个法向量为m=(0,0,1) ，nm=0 ， 平面ANB1 平面AA1B1B .（2）设平面ANB 的法向量为n1=(x1,y1,z1) ，则n1AB=-x1=0,n1AN=-12x1+y1+32z
9、1=0, 取z1=2, 得n1=(0,-3,2) ， 点B1 到平面ANB 的距离d=|AB1n1|n1|=237=2217 ， 三棱锥B1-ANB 的高为2217 .探究点三 直线到平面的距离精讲精练例 （2021山东师大附中高二月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ABC=2 ，D 是棱AC 的中点，且AB=BC=BB1=1 .（1）求证：AB1 平面BC1D ；（2）求直线AB1 到平面BC1D 的距离.答案：（1）证明：以B 为原点，BC,BA,BB1 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),C1(1,0,1),D(12,12,0),A(
10、0,1,0),B1(0,0,1) ，所以BC1=(1,0,1),BD=(12,12,0),AB1=(0,-1,1) ，设平面BC1D 的法向量为n=(x,y,z) ，则BC1n=0,BDn=0, 即x+z=0,12x+12y=0,令x=1 ，则n=(1,-1,-1) ，所以AB1n=01+(-1)(-1)+1(-1)=0 ，所以AB1n ，因为AB1 平面BC1D, 所以AB1 平面BC1D .（2）由（1）知因为AB1 平面BC1D ，所以直线AB1 上任一点到平面BC1D 的距离都相等，易知BA=(0,1,0) ，设直线AB1 到平面BC1D 的距离为d ，则d=|BAn|n|=13=33
11、 ，所以直线AB1 到平面BC1D 的距离为33 .解题感悟向量法求直线与平面的距离、相互平行的平面的距离通常可以转化为点与平面的距离求解.迁移应用在三棱锥S-ABC 中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC ，SA=SC=23 ，M,N 分别为AB,SB 的中点，求SA 到平面CMN 的距离.答案：取AC 的中点O ，连接OS,OB .SA=SC,AB=BC ，ACSO,ACBO . 平面SAC 平面ABC ，平面SAC 平面ABC=AC ，SO 平面ABC .又BO 平面ABC ，SOBO .故以O 为原点，OA,OB,OS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角
12、坐标系Oxyz ，则A(2,0,0),C(-2,0,0),B(0,23,0),S(0,0,23) ，M(1,3,0),N(0,3,2) ，CM=(3,3,0) ，MN=(-1,0,2) ，AM=(-1,3,0) .设n=(x,y,z) 为平面CMN 的法向量，则CMn=3x+3y=0,MNn=-x+2z=0,取z=1 ，则x=2,y=-6 ，n=(2,-6,1) ， 点A 到平面CMN 的距离d=|nAM|n|=423 .M,N 分别为AB,SB 的中点，SAMN ，又MN 平面CMN,SA 平面CMN ，SA 平面CMN ，故SA 到平面CMN 的距离为423 .评价检测素养提升课堂检测1.
13、已知平面 的一个法向量为n=(-2,-2,1) ，点A(-1,3,0) 在平面 内，则点P(-2,1,4) 到 的距离为( )A.10B.3C.83 D.103答案：D解析：n=(-2,-2,1) ，A(-1,3,0) ，P(-2,1,4) ，AP=(-1,-2,4) ，|APn|=10,|n|=3 ， 点P 到 的距离为|APn|n|=103 .2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1 ，AB=1,BC=2,AA1=3 ，则点B 到直线A1C 的距离为( )A.27 B.2357 C.357 D.1答案：B解析：由题意知A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,
14、0) ，所以BC=(0,2,0),A1C=(1,2,-3) ，所以A1C|A1C|=(114,214,-314) ，所以点B 到直线A1C 的距离d=BC2-(BCA1C|A1C|)2=22-(414)2=2357 ，故选B.3.已知AB 平面 ，平面 的法向量为n=(1,0,1) ，平面 内一点C 的坐标为（0，0，1），直线AB 上点A 的坐标为（1，2，1），则直线AB 到平面 的距离为 .答案：22解析：因为AB 平面 ，所以直线AB 到平面 的距离可转化为点A 到平面 的距离，易知CA=(1,2,0) ，所以点A 到平面 的距离d=|CAn|n|=12=22 .4.在长方体OABC-
15、O1A1B1C1 中，OA=2,AB=3,AA1=2 ，在平面O1A1B1C1 内，过O1 作直线lA1C1 ，求l 到直线AC 的距离.答案：由已知得ACA1C1,lA1C1 ，lAC ，l 到直线AC 的距离即O1 到直线AC 的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0) ，AO1=(-2,0,2),AC=(-2,3,0),AO1AC=(-2,0,2)(-2,3,0)=4,O1 到直线AC 的距离d=AO12-(AO1AC|AC|)2=228613, 即l 到直线AC 的距离为228613 .素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理在关于距离的
16、探索性问题中的应用如图，三棱柱ABC-A1B1C1 的所有棱长都是2，AA1 平面ABC ，D,E 分别是AC,CC1 的中点.（1）求证：平面BAE 平面A1BD ；（2）在线段B1B 上是否存在点M ，使点M 到平面A1BD 的距离为255 ？请说明理由.答案：取A1C1 的中点O ，连接B1O,OD, 易得OA1,OD,OB1 两两垂直，故以O 为原点，OA1,OD,OB1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0).（1）证明：易知A1D=(-1,2,0),A1B=(-1,2,3
17、),BA=(1,0,-3),BE=(-1,-1,-3).设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2) 分别为平面A1BD 和平面BAE 的法向量，由A1Dn1=0,A1Bn1=0 得-x1+2y1=0,-x1+2y1+3z1=0,令y1=1, 则x1=2 ，z1=0 ，n1=(2,1,0) 是平面A1BD 的一个法向量.由BAn2=0,BEn2=0 得x2-3z2=0,-x2-y2-3z2=0,令z2=1, 则x2=3,y2=-23 ，n2=(3,-23,1) 是平面BAE 的一个法向量，n2n1=0 ， 平面BAE 平面A1BD .（2）假设在线段B1B （含端点）上存在点M ，
18、使点M 到平面A1BD 的距离为255 ，设M(0,a,3)(0a2) ，则BM=(0,a-2,0) ，由255=|BMn1|n1|=|a-2|5 得a=4 （舍去）或a=0 ，故在线段B1B 上存在点M ，即点M 与点B1 重合时，点M 到平面A1BD 的距离为255 .素养探究：（1）建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，渗透了直观想象的素养；利用空间向量法，分别求出平面A1BD 和平面BAE 的法向量，通过向量的数量积计算，渗透了数学运算的素养；证出平面BAE 平面A1BD ，渗透了逻辑推理的素养.（2）通过点到平面的距离公式，求出a 的值，渗透了数学运算、逻辑推理的素养.迁移应用如图，
19、在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 底面ABCD ，侧棱PA=PD=2 ，底面ABCD 为直角梯形，其中BCAD,ABAD ，AD=2AB=2BC=2 ，O 为AD 的中点，试问：在线段AD 上是否存在点Q ，使点Q 到平面PCD 的距离为32 ？若存在，求出AQQD 的值；若不存在，请说明理由.答案：PA=PD ，O 为AD 的中点，POAD .又侧面PAD 底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD=AD ，PO 底面ABCD .连接OC ，建立如图所示的空间直角坐标系，易得C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) ，CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0) .假设在线段AD 上存在点Q ，使点Q 到平面PCD 的距离为32 ，设Q(0,y,0)(-1y1) ，则CQ=(-1,y,0) .设平面PCD 的法向量为n=(x0,y0,z0) ，则nCP=0,nCD=0,-x0+z0=0,-x0+y0=0,取x0=1 ，则平面PCD 的法向量为n=(1,1,1) ， 点Q 到平面PCD 的距离d=|CQn|n|=|-1+y|3=32 ，y=-12 或y=52 （舍去）.此时AQ=12,QD=32 . 存在点Q 满足题意，此时AQQD=13 .
