1、1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系课标解读课标要求素养要求1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置.3.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.4.掌握空间向量的坐标表示.1.数学运算会求空间中点的坐标.2.直观想象会建立空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 空间直角坐标系1.定义：在空间选定一点O 和一个单位正交基底i,j,k .以点O 为原点，分别以i,j,k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度
2、建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫做 坐标轴 这时我们就建立了一个 空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做原点，i,j,k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做 坐标平面 ，分别称为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分.2.画法：画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使xOy=135 （或45 ）,yOz=90 .3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为 右手直角坐标系 .本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.要点二 空间中点的坐标表示在空间直角坐标系Oxy
3、z 中，i,j,k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA ，且点A 的位置由向量OA 一确定，由空间向量基本定理，存在 唯一 的有序实数组(x,y,z) ，使OA= xi+yj+zk .在单位正交基底i,j,k 下与向量OA 对应的有序实数组(x,y,z) ,叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z) ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.自主思考1.下图中的空间直角坐标系有什么特征？提示x 轴，y 轴，z 轴两两相交,互相垂直，且有相同的单位长度.2.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点是否与有序实数组(x,y,z) 之
4、间存在唯一的对应关系？提示 是,在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z) ；反之，对任意一个有序实数组(x,y,z) ,空间中也有唯一的点与之对应.名师点睛在空间直角坐标系中,点P(x,y,z) ,则：点P 关于原点的对称点是P1(-x,-y,-z) ;点P 关于横轴（x 轴）的对称点是P2(x,-y,-z) ;点P 关于纵轴（y 轴）的对称点是P3(-x,y,-z) ;点P 关于竖轴（z 轴）的对称点是P4(-x,-y,z) ;点P 关于坐标平面Oxy 的对称点是P5(x,y,-z);点P 关于坐标平面Oyz 的对称点是P6(-x,y,z);点P 关于
5、坐标平面Ozx 的对称点是P7(x,-y,z).互动探究关键能力探究点一 空间中点的坐标自测自评1.画一个正方体ABCD-A1B1C1D1, 以A 为坐标原点,棱AB、AD、AA1 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,取正方体的棱长为单位长度.（1）求各顶点的坐标;（2）求棱CC1 的中点M 的坐标;（3）求四边形AA1B1B 对角线的交点N 的坐标.答案：（1）由题意可知,A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1).（2）由（1）可知棱CC1 的中点M
6、 的坐标为(1,1,12) .（3）由（1）可知四边形AA1B1B 对角线的交点N 的坐标为(12,0,12) .2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M 在线段BC1 上,且BM=2MC1,N 是线段D1M 的中点,求点M,N 的坐标.答案：如图,过点M 作MM1BC 于点M1 ,连接DM1 ,取DM1 的中点N1 ,连接NN1 .由BM=2MC1 可知MM1=23CC1=23,M1C=13BC=13 .易知M1MDD1, 所以M1M 与z 轴平行,点M1 的横坐标、纵坐标与点M 相同,又点M 的竖坐标为23, 所以M(13,1,23) .由N1 为DM1 的中点可知N
7、1(16,12,0) .易知N1N 与z 轴平行,所以N1N=M1M+DD12=56,所以N(16,12,56) .解题感悟求点P 的坐标的方法：先找到点P 在Oxy 平面上的射影M ,过点M 向x 轴作垂线,确定垂足N ,其中|ON| ,|NM| ,|MP| 分别为点P 的横坐标、纵坐标、竖坐标的绝对值,再按O N M P 确定相应坐标的正负,与坐标轴同向为正,反向为负,即可得到点P 的坐标.探究点二 空间向量的坐标精讲精练例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M,N 分别为A1B1,A1A 的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求：（1）点B,
8、C1,B1,M,N 的坐标;（2）向量BN,BA1,A1B 的坐标.答案：（1）由题意可设CA=i,CB=j,12CC1=k, 以CA,CB,12CC1, 即i,j,k 为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz ,如图所示. 点B 在y 轴上,且CB=1 ,CB=0i+j+0k, 点B 的坐标为(0,1,0).同理可得点C1 的坐标为(0,0,2). 点B1 在x 轴,y 轴,z 轴上的射影分别为C,B,C1, 点B1 的坐标为(0,1,2).同理可得点M 的坐标为(12,12,2) ,点N 的坐标为(1,0,1).（2）BN=AN-AB=12CC1+CA-CB=i-j+k,BN 的坐标为（1
9、,-1,1）.又BA1=CA1-CB=CA-CB+CC1=i-j+2k,BA1 的坐标为(1,-1,2).A1B=-BA1,A1B 的坐标为(-1,1,-2).变式本例条件不变,若点M 在平面ABC 内的投影为M ,则|CM|= .答案：22解析：因为M(12,12,2) ,所以M 在平面ABC 内的投影为M(12,12,0) ,则|CM|=(12)2+(12)2=22 .解题感悟求空间中的点及空间向量坐标的一般步骤:（1）建系：根据图形特征建立空间直角坐标系;（2）运算：找出点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影的坐标,利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量;（3）定结果：根据射影的坐标写出点的
10、坐标,将所求向量用已知的基底表示出来,确定坐标.迁移应用已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,E,F 分别为棱BB1,DC 的中点,建立空间直角坐标系,如图所示.（1）写出各顶点的坐标;（2）写出向量EF,B1F,A1E 的坐标.答案：（1）设x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量分别为i,j,k .因为正方体的棱长为2,所以DA=2i,DC=2j,DD1=2k .易得D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).（2）因为E,F 分别为棱BB1,DC 的中点,所以EF=EB
11、+BF=12B1B+12BA+BC=-12DD1-12DC-DA=-2i-j-k=(-2,-1,-1) ,B1F=B1B+BF=B1B+12BA+BC=-DD1-12DC-DA=-2i-j-2k=(-2,-1,-2),A1E=A1B1+B1E=DC-12DD1=2j-k=(0,2,-1).探究点三 空间中点的对称问题精讲精练例（1）点A(1,2,-1) 关于Oxy 平面的对称点的坐标为 .（2）（2021山东临沂高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中,点M(1,-1,1) 关于x 轴的对称点的坐标是 .答案：（1）(1,2,1)（2）(1,1,-1)解题感悟求空间中对称点的方法：空间中点的对称
12、问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,只有掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.迁移应用在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4) .（1）求点P 关于x 轴对称的点的坐标;（2）求点P 关于Oxy 平面对称的点的坐标;（3）求点P 关于点M(2,-1,-4) 对称的点的坐标.答案：（1）因为点P 关于x 轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,所以点P 关于x 轴对称的点的坐标为(-2,-1,-4).（2）因为点P 关于Oxy 平面对称后,它的横坐标和纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P 关于O
13、xy 平面对称的点的坐标为(-2,1,-4).（3）设点P 关于点M 对称的点为P3(x,y,z) ,则点M 为线段PP3 的中点,由中点坐标公式可得x=22-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12 ,所以P3 的坐标为(6,-3,-12).评价检测素养提升1.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5) 与点Q(3,-4,-5) 的位置关系是( )A.关于x 轴对称B.关于Oxy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对答案：A2.空间中两点A ,B 的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z) ,则A ,B 两点的位置关系是( )A.关于x 轴对称B.关于y
14、轴对称C.关于z 轴对称D.关于原点对称答案：B3.如图所示,在三棱锥O-ABC 中,OA,OB,OC 两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F 分别为AC,BC 的中点,建立空间直角坐标系Oxyz ,则线段EF 的中点P 的坐标为 .答案：(14,12,32)解析：令x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量分别为i,j,k ,因为OP=OE+EP=12(OA+OC)+12EF=12(OA+OC)+14(OB-OA)=14OA+14OB+12OC=14i+142j+123k=14i+12j+32k ,所以点P 的坐标为(14,12,32) .4.已知a,b,c 是空间的一个基底,a+b,a-b,c 是空间的另外一个基底,若一个向量p 在基底a,b,c 下的坐标为(1,2,3),求向量p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标.答案：设向量p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标为(x,y,z) ,则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc ,所以x+y=1,x-y=2,z=3, 解得x=32,y=-12,z=3, 故p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标为(32,-12,3) .
