1、章末总结体系构建题型整合题型1 求函数的定义域例1 （1）函数y=x+1+12-x的定义域是( )A.-1,2)B.-1,2)(2,+)C.(2,+)D.-1,+)（2）已知函数f(x) 的定义域为2,8 ，则函数h(x)=f(2x)+9-x2 的定义域为( )A.4,16B.(-,13,+)C.1,3D.3,4答案：（1）B （2）C解析：（1）要使函数y=x+1+12-x 有意义，需满足x+10,2-x0, 解得x-1 且x2 ，即函数的定义域为-1,2)(2,+) .故选B.（2）函数f(x) 的定义域为2,8 ，则函数h(x) 的定义域需满足22x8，9-x20， 解得1x3 ，所以函
2、数h(x) 的定义域为1，3 .故选C.方法归纳求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还要考虑使实际问题有意义. （3）复合函数问题：若f(x) 的定义域为a,b ，f(g(x) 的定义域应由ag(x)b 得到；若f(g(x) 的定义域为a,b ，则f(x) 的定义域为g(x) 在a,b 上的值域.提醒：f(x) 中的x 与f(g(x) 中的g(x) 地位相同.1.函数f(x)=x-4|x|-5 的定义域是( )A.(4,5)(5,+) B.4,+ ）C.4,5)(5,+) D.(5
3、,+)答案：C2.（2020河北师范大学附属中学高一期中）已知函数f(x)=1mx2+mx+1 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.0m4 B.0m4C.0m4 D.0m4答案：C题型2 函数的性质及应用例2 （2021天津西青高一期末）已知函数f(x)=2x2-3x+1 .（1）函数h(x) 是奇函数，当x0 时，h(x)=f(x) ，求h(x) 在xR 上的解析式；（2）若g(x)=-f(x)+mx+1 ，当x1,2 时，g(x) 的最大值为2，求m 的值.答案：（1）设x0 ，则-x0 . 函数h(x) 是奇函数， h(x)=-h(-x)=-2x2-3x-1 .h(x)=-2
4、x2-3x-1,x0. .（2）由题意得，g(x)=-2x2+(3+m)x ，函数g(x) 的图象开口向下，其对称轴方程为x=3+m4 ，当x1,2 时，g(x) 的最大值为2，则当3+m41 ，即m1 时，g(x)max=g(1)=-2+3+m=2 ，解得m=1 ；当13+m42 ，即1m5 时，g(x)max=g(3+m4)=m2+6m+98=2 ，解得m=1 (舍)或m=-7 （舍）；当3+m42 ，即m5 时，g(x)max=g(2)=-8+2m+6=2 ，解得m=2 （舍）.综上，m=1 .解题感悟1.利用函数的奇偶性求函数解析式的解题步骤：（1）设出所求区间的自变量x ；（2）运用
5、已知条件将其转化为已知区间满足的x 的取值范围；（3）利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.2.求闭区间上二次函数的最值，当“轴动区间定”时，需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论迁移应用3.（2021浙江温州高一期末）已知函数f(x)=2x-3x+1 .（1）判断函数f(x) 在0,+) 上的单调性，并用定义进行证明；（2）求函数f(x) 在区间2,9 上的值域.答案：（1）函数f(x) 在0,+) 上是增函数.证明：x1,x20,+) ，且x1x2 ，则f(x1)-f(x2)=2x1-3x1+1-2x2-3x2+1=(2x1-3)(x2+1)(x1+1)(x2+1)-(2x2-3)(
6、x1+1)(x2+1)(x1+1)=5(x1-x2)(x1+1)(x2+1) ，x1 ，x20,+) ，(x1+1)(x2+1)0 ，又x1x2 ，f(x1)-f(x2)0 ，即f(x1)f(x2) ， 函数f(x) 在0,+） 上是增函数.（2）由（1）知函数f(x) 在区间2,9 上是增函数，又f(2)=22-32+1=13 ，f(9)=29-39+1=32 ， 函数f(x) 在区间2,9 上的值域为13,32 .题型3 函数的图象及应用例3 在平面直角坐标系中，若直线y=2a 与函数y=|x-a|-1 的图象只有一个交点，则a 的值为 .答案： -12解析：已知直线y=2a 是平行于x
7、轴的直线，由于y=x-a 为一次函数，所以y=|x-a| 的图象为对称图形，故函数y=|x-a|-1 的图象如图所示，因为直线y=2a 与函数y=|x-a|-1 的图象只有一个交点，所以2a=-1 ，解得a=-12 .解题感悟作函数图象的方法（1）描点法求定义域；化简；列表、描点、连线.（2）变换法熟知函数的图象的平移、对称：平移：yf(x) 的图象左加右减y=fxh 的图象；yf(x) 的图象上加下减y=fxk 的图象（其中h0 ，k0 ）；对称：yf(x) 的图象关于y 轴对称，则yf(-x) ；yf(x) 的图象关于x 轴对称，则y-f(x) ；yf(x) 的图象关于原点对称，则y-f(
8、-x) .提醒：要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图.迁移应用4.已知f(x) 是R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)=-x2+2x+2 .（1）求f(-1) ；（2）求f(x) 的解析式；（3）画出函数f(x) 的图象，并指出f(x) 的单调区间.答案：（1）由于函数f(x) 是R 上的奇函数，所以对任意的x 都有f(-x)=-f(x) ，所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3 .（2）设x0 ，则-x0 ，于是f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2 .因为f(x) 为奇函数，所以f(-x)=-f(x) .因此f(x)=x2+2x-2 .又f(0)=0 所
9、以f(x)=x2+2x-2,x0.（3）先画出y=f(x)(x0) 的图象，利用奇函数的图象都关于原点成中心对称图形，可得相应y=f(x)(x0) 的图象，其图象如图所示.由图象可知，函数f(x) 的单调增区间为(-1,0)和(0,1)，单调减区间为(-,-1 和1,+) .题型4 函数模型的建立例4 2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x 百辆，需另投入成本C(x) 万元，且C(x)=10x2+100x,0x40,501x+10000x-4500,x40. 由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求
10、出2020年的利润L(x) （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）2020年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.答案：（1）当0x40 时，L(x)=5100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500 ；当x40 时，L(x)=5100x-501x-10000x+4500-2500=2000-(x+10000x) ，L(x)=-10x2+400x-2500,0x40，2000-x+10000x,x40.（2）当0x40 时，L(x)=-10(x-20)2+1500 ， 当x=20 时，L(x)max=L(20)=1500
11、 ；当x40 时，L(x)=2000-(x+10000x)2000-2x10000x=2000-200=1800 ，当且仅当x=10000x ，即x=100 时，L(x)max=L(100)=18001500 ， 当x=100 ，即2020年生产100百辆车时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.解题感悟1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤（1）对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x ，y 分别表示.（2）建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域.（3）求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则（1）简化原则：建立模型，要对
12、原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.（2）可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.（3）反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.迁移应用5.某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(t,P) ，点(t,P) 落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如表所示.t/ 天4101622Q/ 万股36302418（1）根据图象
13、，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（3）用y 表示该股票日交易额（万元），写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少.答案：（1）P=15t+2,0t20,-110t+8,20t30(tN*) .（2）设Q=at+b （a ，b 为常数，且a0 ），将点(4,36)，(10,30)代入得4a+b=36,10a+b=30(tN*) ，解得a=-1 ，b=40 ，所以日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为Q=-t+40 ，0t30(tN
14、*) .（3）由（1）（2）可得y=15t+2(40-t),0t20,-110t+8(40-t),20t30tN* ，即y=-15(t-15)2+125,0t20,110(t-60)2-40,20t30(tN*) .当0t20 时，y 有最大值125，此时t=15 ；当20t30 时，y 随t 的增大而减少，ymax110(20-60)2-40=120 .因为125120，所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值，为125万元.高考链接 1.（2020新高考，8，5分）若定义在R 的奇函数f(x) 在(-,0) 单调递减，且f(2)=0 ，则满足xf(x-1)0 的x 的取值范围是( )
15、A.-1,13,+ ）B.-3,-10,1C.-1,01,+ ）D.-1,01,3答案：D解析：因为定义在R 上的奇函数f(x) 在(-,0) 上单调递减，且f(2)=0 ，所以f(x) 在(0,+) 上单调递减，且f(-2)=0 ，f(0)=0 ，所以当x(-,-2)(0,2) 时，f(x)0 ；当x(-2,0)(2,+) 时，f(x)0 ，由xf(x-1)0 ，可得x0,0x-12或x-1-2 或x=0 ，解得-1x0 或1x3 ，所以满足xf(x-1)0 的x 的取值范围是-1,01,3 .故选D.2.（2020天津，3，5分）函数y=4xx2+1 的图象大致为( )A.B.C.D.答案
16、：A解析：设y=f(x)=4xx2+1 ，由题意得f(-x)=-4xx2+1=-f(x) ，则函数f(x) 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C、D错误；f(1)=41+1=20 ，选项B错误.故选A.3.（2017山东，9，5分）设f(x)=x,0x1,2(x-1),x1. 若f(a)=f(a+1) ，则f(1a)= ( )A.2B.4C.6D.8答案：C解析：当0x1 时，f(x)=x ，为增函数，当x1 时，f(x)=2(x-1) ，为增函数，又f(a)=f(a+1) ，a=2(a+1-1) ，a=14 .f(1a)=f(4)=6 .4.（2017浙江，5，4分）若函数f(x)=x2
17、+ax+b 在区间0,1 上的最大值是M ，最小值是m ，则M-m ( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关答案：B解析：由题意得，函数f(x) 的最值在f(0)=b ，f(1)=1+a+b ，f(-a2)=b-a24 中取得，所以最值之差一定与b无关.故选B.5.（2019江苏，4，5分）函数y=7+6x-x2 的定义域是 .答案： -1,7解析：要使原函数有意义，需满足7+6x-x20 ，解得-1x7 ，故所求函数的定义域为-1,7 .6.（2018天津，14，5分）已知aR ，函数x2+2x+a-2,x0,-x
18、2+2x-2a,x0. .若对任意x-3,+) ，f(x)|x| 恒成立，则a 的取值范围是 .答案： 18,2解析：当x-3,0 时，因为f(x)|x| 恒成立，所以x2+2x+a-2-x ，分离参变量得a-x2-3x+2 ，令y=-x2-3x+2 ，则y=-(x+32)2+174 ，所以当x=0 或x=-3 时，y 取得最小值，为2，所以a2 .当x(0,+) 时，因为f(x)|x| 恒成立，所以-x2+2x-2ax ，分离参变量得a12x2+12x ，令y=12x2+12x ，则y=-12(x-12)2+18 ，所以当x=12 时，y 取得最大值，为18 ，所以a18 .综上，a 的取值范围是18a2 .
