1、5.2.2 同角三角函数的基本关系课标解读课标要求素养要求1.理解同角三角函数的基本关系.2.掌握由一个三角函数值求同角的另外两个三角函数值.数学运算会用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明.自主学习必备知识教材研习教材原句sin2+cos2 = 1 .当 k+2(kZ) 时,有 sincos=tan ,这就是说,同一角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切.自主思考1.sin2+cos2=1 中，角 是不是任意角？答案：提示角 是任意角.2.对任意角 ，sin2cos2=tan2 都成立吗？答案：提示不都成立，若cos20 ，则原式成立.名师点睛1.平方关系中强调的是同一个角且是任
2、意的,与角的表达形式无关2.若已知sincos,sincos 中的一个,则利用方程思想进一步可以求得sin,cos 的值,从而求出其余的三角函数值3.常用的等价变形sin2+cos2=1sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin=1-cos2,cos=1-sin2,tan=sincossin=tancos,cos=sintan.互动探究关键能力探究点一 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值精讲精练 例 已知sin=1213 ,且 是第二象限角,求cos 和tan .答案： cos2=1-sin2=1-(1213)2=(513)2,因为 是第二象限角,所以cos0 ,所以cos=-
3、513 ,故tan=sincos=-125 .解题感悟已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法（1）若已知sin=m ，则可以先用公式cos=1-sin2 求得cos 的值,再用公式tan=sincos 求得tan 的值 （2）若已知cos=m ，则可以先用公式sin=1-cos2 求得sin 的值,再用公式tan=sincos ，求得tan 的值（3）若已知tan=m ，则可以用公式tan=sincos=msin=mcos ,与sin2+cos2=1 联立,求得cos=11+m2,sin=m1+m2（4）注意要根据角的终边所在的象限,判断三角函数的符号.迁移应用1.已知 是第三象限角,且si
4、n=-13 ,则3cos+4tan= ( )A.-2 B.2C.-3 D.3答案： A解析：因为 是第三象限角,且sin=-13 ,所以cos=-1-sin2=-1-(-13)2=-223 ,所以tan=sincos=24 ,所以3cos+4tan=-22+2=-2 .探究点二 齐次式求值精讲精练例 已知tan=3 ,求下列各式的值.（1）4sin-cos3sin+5cos ;（2）sin2-2sincos-cos24cos2-3sin2;（3）34sin2+12cos2 .答案：（1）原式=4tan-13tan+5=43-133+5=1114 .（2）原式=tan2-2tan-14-3tan
5、2=9-23-14-39=-223 .（3）原式=34sin2+12cos2sin2+cos2=34tan2+12tan2+1=349+129+1=2940 .解题感悟齐次式求值的方法技巧（1）已知tan=m, 可以求asin+bcoscsin+dcos 或asin2+bsincos+ccos2dsin2+esincos+fcos2 的值,将分子、分母同时除以cos 或cos2 ,化成关于tan 的式子,进而可以求值.（2）求asin2+bsincos+ccos2 的值,可看成其分母是1,利用1=sin2+cos2 进行代替后,分子、分母同时除以cos2 ,得到关于tan 的式子,进而可以求值
6、.迁移应用 1.已知tan=-12 ,求下列各式的值.（1）cos-5sin3cos+sin ;（2）sin2-sincos-3cos25sincos+sin2+1;（3）2sin2-sincos+cos2 .答案： （1）cos-5sin3cos+sin=1-5tan3+tan=1-5(-12)3-12=75 .（2）sin2-sincos-3cos25sincos+sin2+1=sin2-sincos-3cos25sincos+2sin2+cos2=tan2-tan-32tan2+5tan+1=(-12)2-(-12)-32(-12)2+5(-12)+1=94 .（3）2sin2-sinc
7、os+cos2=2sin2-sincos+cos2sin2+cos2=2tan2-tan+1tan2+1=2(-12)2-(-12)+1(-12)2+1=85 .探究点三 利用同角三角函数的基本关系进行化简、证明精讲精练 例 （1）化简1+sin1-sin-1-sin1+sin ,其中 为第三象限角;（2）求证：tansintan-sin=tan+sinsin答案： （1）因为 为第三象限角,所以-1sin0,-1cos0 ,所以1+sin0,1-sin0 .则1+sin1-sin-1-sin1+sin=(1+sin)2(1-sin)(1+sin)-(1-sin)2(1-sin)(1+sin)
8、=(1+sin)-(1-sin)|cos|=2sin-cos=-2tan .（2）证明：因为左边=tansintan-tancos=sin1-cos ,右边=tan+tancostansin=1+cossin=1-cos2sin(1-cos)=sin2sin(1-cos)=sin1-cos ,所以左边=右边,故原等式成立.解题感悟（1）三角函数式的化简技巧:化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解或构造sin2+cos2=1 ，以降低函数
9、次数,达到化简的目的.（2）证明三角恒等式的常用方法:直推法:从条件直推到结论.代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明.换元法:把条件和要证明的式子的三角函数问题转化为代数问题,利用代数即可完成证明.迁移应用（1）化简tan1sin2-1 ,其中 是第二象限角;（2）求证：sin-cos+1sin+cos-1=1+sincos .答案：（1）因为 是第二象限角,所以sin0,cos0 .故tan1sin2-1=tan1-sin2sin2=tancos2sin2=sincos|cossin|=sincos-cossin=-1.（2）证明：左边=(sin-cos+1)(sin+cos+
10、1)(sin+cos-1)(sin+cos+1)=(sin+1)2-cos2(sin+cos)2-1=(sin2+2sin+1)-(1-sin2)sin2+cos2+2sincos-1=2sin2+2sin1+2sincos-1=2sin(sin+1)2sincos=1+sincos= 右边,所以原等式成立.评价检测素养提升课堂检测1.已知sin=-35 ,且|2 ,则cos 等于( )A.35 B.45 C.-45 D.34答案：B2.若 为第三象限角,则cos1-sin2+2sin1-cos2 的值为( )A.3B.-3C.1D.-1答案：B3.（2021四川资阳阳安中学高一月考）已知ta
11、n=5 ,则sin+cossin-cos= .答案： 324.已知cos-sin=-12 ,则sincos 的值为 .答案： 38解析：由已知得(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos=1-2sincos ,因为cos-sin=-12 ,所以1-2sincos=14 ,解得sincos=38 .5.（1）化简:sin2-sin4 ,其中 是第二象限角;（2）求证：1+tan2=1cos2 .答案：（1）因为 是第二象限角,所以sin0,cos0 ,所以sincos0 ,所以sin2-sin4=sin2(1-sin2)=sin2cos2=-sincos .（2）证明：左边=1+s
12、in2cos2=cos2+sin2cos2=1cos2= 右边,所以原等式成立.素养演练数学运算sincos、sincos之间的关系1.已知sin+cos=15,(0,) ,求sin,cos,sin-cos,tan,sin3+cos3 的值.解析：审：已知sin+cos=15,(0,) ,求其他三角函数式的值.联：解题时先根据已知关系式求出sin 和cos 的取值范围,再求出角 的三角函数值,进而解决问题.答案：解：因为sin+cos=15 ,所以1+2sincos=125 ,（两边平方）所以2sincos=-24250 .又(0,) ,所以sin0 ,所以cos 0,所以sin-cos0 .
13、因为(sin-cos)2=1-2sincos=1+2425=4925 ,所以sin-cos=75 ,（注意符号）所以sin+cos=15,sin-cos=75, 解得sin=45,cos=-35,所以tan= sincos=45-35=-43 ,（商数关系）sin3+cos3=(45)3+(-35)3=37125 .(或sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=15(1+1225)=37125)思：（1）在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件,本题就是灵活运用了平方关系,列方程组求出sin,cos ,使问题得解.（2）求sin+cos或sin-cos 的值,
14、要注意判断它们的符号.（3）解决此类问题常涉及以下三角恒等式：(sin+cos)2=1+2sincos ;(sin-cos)2=1-2sincos ;(sin+cos)2+(sin-cos)2=2;(sin-cos)2=(sin+cos)2-4sincos .上述三角恒等式告诉我们,若已知sin+cos,sin-cos,sincos 中的任何一个,则另外两个式子的值均可求出.迁移应用 1.已知sin、cos 是方程4x2-4mx+2m-1=0 的两个根,且322 ,求角 的值.答案：由题意得,sin+cos=msincos=2m-14,=16m2-2m+10代入(sin+cos)2=1+2sincos 得,m=132 ,因为322 ,所以sincos=2m-140 ,即m12 ,所以sin+cos=m=1-32 ,所以sin=-32,cos=12 .又因为322 ,所以=53 .
