1、第2课时 函数的最大（小）值课标解读课标要求素养要求1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.2.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最值.1.直观想象会借助函数图象求函数的最值.2.数学建模能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.自主学习必备知识 教材研习教材原句一般地,设函数y=f(x) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足：（1）xI, 都有 f(x)M ;（2）x0I ,使得 f(x0)=M .那么,我们称M 是函数y=f(x) 的 最大值 .自主思考1.若函数f(x)M ,则M 一定是函数的最大值吗？答案：提示 不一定,只有定义域内存在一点x0 ,使f(x0)=M 时,M 才是
2、函数的最大值.即M 是一个函数值,它是函数值域中的一个元素.名师点睛1.函数的最大（小）值与值域、单调性之间的关系（1）对一个函数来说,一定有值域,但不一定有最值,如函数y=1x .如果有最值,那么最值一定是值域中的一个元素.（2）若函数f(x) 在闭区间a,b 上单调,则f(x) 的最值必在区间端点处取得,即最大值是f(a) 或f(b) ,最小值是f(b) 或f(a) .2.利用函数单调性求最值的常用结论（1）如果函数y=f(x) 在区间a,b 上单调递增,在区间(b,c 上单调递减,那么函数y=f(x),xa,c 在x=b 处有最大值f(b) ,如图所示;（2）如果函数y=f(x) 在区间
3、a,b 上单调递减,在区间(b,c 上单调递增,那么函数y=f(x),xa,c 在x=b 处有最小值f(b) ,如图所示图图3.函数最大（小）值的几何意义（1）函数y=f(x) 的最大值是图象最高点的纵坐标.（2）函数y=f(x) 的最小值是图象最低点的纵坐标.探究点一 利用图象求函数的最值自测自评1.函数f(x) 的图象如图所示,则其最大值、最小值分别为( )A.f(32),f(-32) B.f(0),f(32)C.f(-32),f(0) D.f(0),f(3)答案：B解析：观察图象可知,图象的最高点在y 轴上,从而函数的最大值是f(0) ;函数图象的最低点在直线x=32 上,所以函数的最小
4、值是f(32) .故选B.2.函数f(x)=1x 在1,+) 上( )A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值答案：A解析：函数f(x)=1x 的图象如图所示,在1,+) 上函数有最大值,无最小值.故选A.3.已知函数f(x)=-|x-1|+2 ,则函数的最大值是 ,值域是 .答案：2; (-,2解析：函数f(x)=-|x-1|+2=3-x,x1,x+1,x1 的图象如图所示,由图象知,函数f(x)=-|x-1|+2 的最大值为2,没有最小值,所以其值域为(-,2 .4.已知函数f(x)=x2-x(0x2),2x-1(x2), 求函数f(x) 的最大
5、值和最小值.答案：函数f(x) 的图象如图所示.由图象可知,当x=2 时,f(x) 取得最大值,为2;当x=12 时,f(x) 取得最小值,为-14 .解题感悟利用函数图象求最值的步骤探究点二 利用单调性求函数的最值精讲精练例 求函数f(x)=x+4x 在1,4 上的最值.答案：x1,x21,2), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=x1-x2+4(x2-x1)x1x2=(x1-x2)(1-4x1x2)=(x1-x2)x1x2-4x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x21x1x22,x1-x20,x1x2-40,x1x20,f(x1)f(x2),f(x)
6、 在1,2) 上是减函数.同理f(x) 在2,4 上是增函数. 当x=2 时,f(x) 取得最小值4;当x=1 或x=4 时,f(x) 取得最大值5.解题感悟利用单调性求函数的最大（小）值时需要求定义域,不判断单调性而直接将两端点值代入求闭区间上的最值是最容易出现的错误,求解时需注意.迁移应用1.已知函数f(x)=x-1x+2,x3,5 .（1）判断函数f(x) 的单调性;（2）求函数f(x) 的最大值和最小值.答案：（1）x1,x23,5, 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=(x1-1)(x2+2)-(x2-1)(x1+2)(x1+2)(x2+2)=x
7、1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2(x1+2)(x2+2)=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2) .x1,x23,5,x1+20,x2+20,x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 函数f(x) 在3,5 上单调递增.（2）由（1）知,当x=3 时,函数f(x) 取得最小值,为25 ;当x=5 时,函数f(x) 取得最大值,为47 .探究点三 函数最值的实际应用精讲精练例 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租
8、不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x 元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）.（1）求函数y=f(x) 的解析式及定义域;（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？答案：（1）当x6 时,y=50x-115 ,令50x-1150 ,解得x2.3 .xN,3x6 .当6x20 时,y=50-3(x-6)x-115=-3x2+68x-115 ,综上可知,y=50x-115,3x6,xN,-3x2+68
9、x-115,65), 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉）,根据上述统计规律,请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f(x) 的解析式（利润=销售收入-总成本）;（2）该厂家生产多少台产品时,可使盈利最多？答案：（1）由题意得G(x)=2.8+x .R(x)=-0.4x2+4.2x(0x5),11(x5),f(x)=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8(0x5),8.2-x(x5).（2）当x5 时,函数f(x) 单调递减,f(x)f(5)=3.2 （万元）.当0x5 时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6 , 当x=4 时,f(x) 有最大值,为3.6.3.63.
10、2 , 当该厂家生产4百台产品时,可使盈利最大,为3.6万元.评价检测素养提升 1.函数f(x) 在-2,+) 上的图象如图所示,则此函数的最大值、最小值分别为( )A.3,0B.3,1C.3,无最小值D.3,-2答案：C2.已知长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2 时,面积S 最大,此时x 的值为( )A.12 B.1C.32 D.2答案：B解析：由题意得,S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12=-12(x-1)2+252 ,x0,3-x20, 解得0x6 , 当x=1 时,S 取得最大值252 .故选B.3.若函数f(x)=1x 在1,b(b1) 上的最小值是14 ,
11、则b= .答案：44.设f(x) 为y=-x+6 和y=-x2+4x+6 中的较小者,则函数f(x) 的最大值为 .答案：6解析：在同一平面直角坐标系内,作出两个函数的图象,如图所示,由图可知,f(x) 的图象是图中的实线部分.观察图象可知函数f(x) 的最大值为6.5.已知函数f(x)=1x-2 .（1）判断f(x) 在3,5 上的单调性,并证明;（2）求f(x) 在3,5 上的最大值和最小值.答案：（1）f(x) 在3,5 上为减函数.证明：x1,x23,5, 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1x1-2-1x2-2=x2-x1(x1-2)(x2-2) .x1x2,x2-x10.又x1,x23,5,(x1-2)(x2-2)0 ,x2-x1(x1-2)(x2-2)0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x) 在3,5 上是减函数.（2）f(x) 在3,5 上是减函数,f(x) 在3,5 上的最大值为f(3)=1 ,f(x) 在3,5 上的最小值为f(5)=13 .
