1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 不等式选讲(选修45)高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 (2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1
2、)f(x)x4，x1，3x2，132，yf(x)的图象如图所示.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5，故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为x|x5.所以|f(x)|1 的解集为x|x13或1x5.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义
3、求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式.3.基本不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立.定理 2：如果 a，b 为正数，则ab2 ab，当且仅当 ab时，等号成立.定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc33 abc，当且仅当 abc 时，等号成立.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华定理 4：(一般形式的算
4、术几何平均不等式)如果 a1、a2、an 为 n 个正数，则a1a2annn a1a2an，当且仅当 a1a2an 时，等号成立.4.柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)若 ai，bi(iN*)为实数，则222111()()(),nnniiiiiiiaba b当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.真题感悟考点整合热
5、点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点一 绝对值不等式的解法 微题型1 绝对值不等式的解法【例11】(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a13，0，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC 的面积为2
6、3(a1)2.由题设得23(a1)26，故 a2.所以 a 的取值范围为(2，).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练11】(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g
7、(x)3，求a的取值范围.解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 含有绝对值不等式的恒成立问题【例12】(2016衡水大联考)设函数f(x)|x1|，g(x)2|xa|，aR.(1)若 a2，求不等式
8、 f(x)g(x)x3 的解集；(2)若对m1，x0R，f(x)g(x)m2m4m1成立，求 a的取值范围.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1)若 a2，f(x)g(x)|x1|2|x2|x3，x1，3x5，1x2，x3，x2.当 x1 时，若 f(x)g(x)x3，则 x3x3，故 x1；当 1x2 时，若 f(x)g(x)x3，则 3x5x3，即 x1，这与 1x2 矛盾；当 x2 时，若 f(x)g(x)x3，则x3x3，即 x3，故 x3.综上所述，不等式 f(x)g(x)x3 的解集为x|x1 或 x3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)因为m
9、2m4m1（m1）23（m1）6m1m16m132 63(m1)，当且仅当 m16m1，即 m 61 时等号成立.原命题等价于x0R，f(x)g(x)2 63 成立，即f(x)g(x)min2 63.设 h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|；当 a 1 时，h(x)f(x)g(x)|x 1|2|x a|3x2a1，xa，x2a1，ax1，3x2a1，x1.h(x)minh(a)|a1|1a.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华由 1a2 63，解得 a22 6.所以，22 6a1；当 a1 时，h(x)3|x1|.h(x)min02 63 显然成立；当 a 1 时，h(x)f
10、(x)g(x)|x 1|2|x a|3x2a1，x1，x2a1，1xa，3x2a1，xa.h(x)minh(a)|a1|a1.由 a12 63，解得 a2 64.所以，1a2 64.综上所述，a 的取值范围为22 6，42 6.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练12】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求
11、实数m的取值范围.解(1)由 f(x)3 得|xa|3，解得 a3xa3.又已知不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，所以a31，a35，解得 a2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)法一 当 a2 时，f(x)|x2|，设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|2x1，x2.所以当 x5；当3x2 时，g(x)5；当 x2 时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为 5.从而若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 当 a2 时，f(x)|x2|
12、.设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 不等式的证明【例2】(2015全国卷)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件.证明(1)因为(a b)2ab2 ab，(c d)2cd2 cd，由题设 abcd，abcd 得(a b)2(cd
13、)2.因此 a b c d.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为 abcd，所以 abcd.由(1)得 a b c d.若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，a b c d是|ab|cd|的充要条件.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.真题感悟考
14、点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练2】(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知 a，b，c 都是正数，求证：a2b2b2c2c2a2abcabc.证明(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2，因为 a，b 都是正数，所以 ab0，又因为 ab，所以(ab)20，于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以 a3b3a2bab2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)因为 b2c22bc，a20，所以 a2(b2c2)2a2bc.同理 b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得 2(a2
15、b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而 a2b2b2c2c2a2abc(abc).由 a，b，c 都是正数，得 abc0，因此a2b2b2c2c2a2abcabc.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.证明绝对值不等式主要有三种方法：(1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明.2.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法.(2)f(x)a 恒成立f(x)maxa；f(x)a 恒成立f(x)mina.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
