1、第八章第八节一、选择题1平面经过三点A(1,0,1),B(1,1,2),C(2,1,0),则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A(,1,1)B(6,2,2)C(4,2,2)D(1,1,4)答案D解析(2,1,1),(3,1,1),设平面的法向量为n(x,y,z)得取y1,则n(0,1,1)D选项中(1,1,4)(0,1,1)1430.故选D2已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x、y、z分别为()A,4 B,4C,2,4D4,15答案B解析,0,即352z0,得z4,又BP平面ABC,BPAB,BPBC,(3,1,4),则解得3已知平面内有一个
2、点M(1,1,2),平面的一个法向量是n(6,3,6),则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3,3,4)答案A解析n(6,3,6)是平面的法向量,n,在选项A中,(1,4,1),n0.4(2015泰安质检)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,向量n(1,1,1),则以n为方向向量直线l与平面ABC的关系是()A垂直B不垂直C平行D以上都有可能答案A解析易知(1,1,0),(1,0,1),n111100,n1110110,则n,n,即ABl,ACl,又AB与AC是平面ABC内两相交直线,l平面ABC5若平面、的法向量分
3、别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则()ABC、相交但不垂直D以上均不正确答案C解析n1(2,3,5),n2(3,1,4),cos0且1.,相交但不垂直6如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA1,AD2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂直D以上都不对答案C解析分别以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),M(,2,0),P(0,1,),则(,2,0),(,1,),所以0,所以AMPM,故选C二、填空题7若直线l的方向向量e(2,1,m),平面的法向量n(1,2),且l,则m
4、_.答案4解析平面的法向量即为平面的法线的方向向量,又l,en,即en(0),亦即(2,1,m)(1,2),m4.8已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2),b(x,2,3),且,则x_.答案4解析由可知ab0,即x1(2)230,解得x4.9已知(2,2,1),(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是_答案(,)或(,)解析设平面ABC的法向量n(x,y,1)则n且n,即n0,且n0,从而,即n(,1,1),单位法向量为(,)三、解答题10如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M是线段EF的中点求证:(1)AM平面BDE;(2)AM平面BDF.证明
5、(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBDN,连接NE.则点N、E的坐标分别为(,0)、(0,0,1)(,1)又点A、M的坐标分别是(,0)、(,1),(,1)且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)由(1)知(,1),D(,0,0),F(,1),(0,1)0,AMDF.同理AMBF.又DFBFF,AM平面BDF.一、选择题1已知a(1,1,1),b(0,2,1),cmanb(4,4,1)若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为()A1,2B1,2C1,2D1,2答案A解析c(m,m,m)(0,2n,n)(4,4,1)(m4,m2n4,mn1)c与
6、a及b都垂直,即即解得2如下图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB,AF1.M在EF上,且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1)BCD答案C解析设BDACO,连接EO,由题意可知EOAM.M为EF的中点M,故选C二、填空题3如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是_答案平行解析分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A1MANa,M(a,a,),N(a,a,a)(,0,a)又C1(0,0,0),D1(0,a,0),(0,a,0)0.是平面
7、BB1C1C的法向量,又MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C4(2015烟台模拟)已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的投影为_答案解析ba(1,1,1)(1,2,3),则a在向量b上的投影为.三、解答题5如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点(1)求证:DE平面ABC;(2)求证:B1F平面AEF.分析利用向量法以A为坐标原点,建立空间直角坐标系解析如图,以A为原点建立空间直角坐标系A;,令ABAA14,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(
8、4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0)(1)取AB中点N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),(2,4,0),(2,4,0),又DE、NC不共线DENC,又NC在平面ABC内,故DE平面ABC(2)(2,2,4),(2,2,2),(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0,则,B1FEF,(2)222(4)00.,即B1FAF.又AFFEF,B1F平面AEF.6(2015福州调研)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,
9、说明理由解析(1)以A为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故(0,1,1),(,1,1),(a,0,1),(,1,0)011(1)10,B1E AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE.此时(0,1,z0)又设平面B1AE的法向量n(x,y,z)n平面B1AE,n ,n,得取x1,得平面B1AE的一个法向量n(1,a)要使DP平面B1AE,只要n,有az00,解得z0.又DP平面B1AE,存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP.