1、第八章第八节一、选择题1平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A(，1，1)B(6，2，2)C(4,2,2)D(1,1,4)答案D解析(2,1,1)，(3，1，1)，设平面的法向量为n(x，y，z)得取y1，则n(0,1，1)D选项中(1,1,4)(0,1，1)1430.故选D2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x、y、z分别为()A，4 B，4C，2,4D4，15答案B解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得3已知平面内有一个
2、点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)答案A解析n(6，3,6)是平面的法向量，n，在选项A中，(1,4,1)，n0.4(2015泰安质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n(1,1,1)，则以n为方向向量直线l与平面ABC的关系是()A垂直B不垂直C平行D以上都有可能答案A解析易知(1,1,0)，(1,0,1)，n111100，n1110110，则n，n，即ABl，ACl，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，l平面ABC5若平面、的法向量分
3、别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC、相交但不垂直D以上均不正确答案C解析n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，cos0且1.，相交但不垂直6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂直D以上都不对答案C解析分别以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，M(，2,0)，P(0,1，)，则(，2,0)，(，1，)，所以0，所以AMPM，故选C二、填空题7若直线l的方向向量e(2,1，m)，平面的法向量n(1，2)，且l，则m
4、_.答案4解析平面的法向量即为平面的法线的方向向量，又l，en，即en(0)，亦即(2,1，m)(1，2)，m4.8已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_.答案4解析由可知ab0，即x1(2)230，解得x4.9已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_答案(，)或(，)解析设平面ABC的法向量n(x，y,1)则n且n，即n0，且n0，从而，即n(，1,1)，单位法向量为(，)三、解答题10如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明
5、(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，0)、(0,0,1)(，1)又点A、M的坐标分别是(，0)、(，1)，(，1)且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.一、选择题1已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为()A1,2B1，2C1,2D1，2答案A解析c(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1)(m4，m2n4，mn1)c与
6、a及b都垂直，即即解得2如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1.M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1)BCD答案C解析设BDACO，连接EO，由题意可知EOAM.M为EF的中点M，故选C二、填空题3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_答案平行解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a)(，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)0.是平面
7、BB1C1C的法向量，又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C4(2015烟台模拟)已知向量a(1,2,3)，b(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为_答案解析ba(1,1,1)(1,2,3)，则a在向量b上的投影为.三、解答题5如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求证：B1F平面AEF.分析利用向量法以A为坐标原点，建立空间直角坐标系解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系A；，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(
8、4,0,0)，B1(4,0,4)，C(0,4,0)(1)取AB中点N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，又DE、NC不共线DENC，又NC在平面ABC内，故DE平面ABC(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，则，B1FEF，(2)222(4)00.，即B1FAF.又AFFEF，B1F平面AEF.6(2015福州调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，
9、说明理由解析(1)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1E AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n ，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.