1、2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）数学一、填空题：共12题1计算：.【答案】【解析】本题考查极限的计算；由题意，得；故填1.2函数的定义域为.【答案】【解析】本题考查函数的定义域；要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故填.3若，则.【答案】【解析】本题考查二倍角公式和同角三角函数基本关系式；因为，所以，即，即，解得或，又因为，所以；故填3.4若复数表示虚数单位)，则.【答案】【解析】本题考查复数的运算；因为，所以；故填.5曲线为参数)的两个顶点之间的距离为.【答案】【解析】本题考查同角三角函数基本关系式和参数方程；因为，则，即曲线的两个顶点为，即两个顶点之间的
2、距离为2；故填2.6若从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为.(结果用最简分数表示).【答案】【解析】本题考查古典概型；由题意，得从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为；故填.7若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.【答案】.【解析】本题考查三角函数的图象和性质；将化成，即，因为，所以，即；故填.8若一个圆锥的母线与底面所成的角为,体积为,则此圆锥的高为.【答案】【解析】本题考查旋转体的体积；设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得；故填5.9若函数)的反函数为，则=.【答案】【
3、解析】本题考查反函数、对数方程的解法；令，即，解得或，即或（舍）；故填.10若三棱锥的所有的顶点都在球O的球面上，平面，则球O的表面积为.【答案】【解析】本题考查多面体和球的组合问题；由题意，得三棱锥是长方体的一部分（如图所示）球是该长方体的外接球，其中，设球的半径为，则，则球O的表面积为；故填.11设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】本题考查三角函数的值域、二次函数的最值和不等式恒成立问题；因为不等式对于任意的恒成立，所以不等式对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故填.12在中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若的面积为，则
4、的最小值为.【答案】【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、余弦定理的应用；因为、分别是、的中点，且是直线上的动点，所以到直线的距离等于到直线的距离的一半，所以，则，所以，则，由余弦定理，得，显然，都为正数，所以，令，则，令，则，当时，当时，即当时，取得最小值为；故填.二、选择题：共4题13动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查动点的轨迹方程；设，因为与点连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以，即；故选B.14若、，则“”是“”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D
5、【解析】本题考查充分条件和必要条件的判定；因为，所以“”不是“”成立的充分条件，若，则不存在，所以“若,，则”为真命题，即“”不是“”成立的必要条件，所以“”是“”成立的既非充分也非必要条件；故选D.15设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中的真命题为A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】本题考查空间中线面、面面间的位置关系的判定；若，则相交或平行，故A错误，若，则相交或平行，故B错误，若，则由面面垂直的判定定理得，故D错误、C正确；故选C.16关于函数的判断，正确的是A.最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数B.最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数C.最小
6、正周期为，值域为，在区间上是单调增函数D.最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数【答案】C【解析】本题考查二倍角公式和三角函数的性质；显然，的值域为，故排除选项A、B，因为的最小正周期为，故排除选项D；故选C.三、解答题：共5题17在正方体中，、分别是、的中点.(1)求证：四边形是菱形；(2)求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .【答案】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则,所以,即且,故四边形是平行四边形又因为,所以故平行四边形是菱形(2)因为设异面直线与所成的角的大小为所以, 故异面直线与所成的角的大小为【解析】本题考查利用空间向量判定平行、求异面直线
7、所成的角；(1)设出正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量相等判定四边形的对边平行且相等，再证明邻边对应的向量模相等；(2)求出有关直线的对应方向向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.18已知函数、为常数且).当时，取得最大值.(1)计算的值；(2)设，判断函数的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)，其中根据题设条件可得，即化简得，所以即，故所以(2)由(1)可得，即故所以)对于任意的)即，所以是偶函数.【解析】本题考查配角公式、三角函数的性质；(1)先利用配角公式化简函数解析式，再利用最值得到，再代入进行求值；(2)代入化简得到函数的解析式，利用奇偶性的定义进行判定.
8、19某人上午7时乘船出发，以匀速海里/小时()从港前往相距50海里的港，然后乘汽车以匀速千米/小时()自港前往相距千米的市，计划当天下午4到9时到达市.设乘船和汽车的所要的时间分别为、小时，如果所需要的经费(单位：元)(1)试用含有、的代数式表示；(2)要使得所需经费最少，求和的值，并求出此时的费用.【答案】(1)，得，得所以(其中)(2)其中，令目标函数,可行域的端点分别为则当时，所以(元),此时答：当时，所需要的费用最少，为元。【解析】本题考查函数模型的应用和简单的线性规划问题的应用；(1)利用题意，提取数学信息，得到有关关系式；(2)列出所需经费的关系式和有关变量的限制条件，作出对应的可
9、行域，利用简单的线性规划问题进行求解.20已知曲线，直线经过点与相交于、两点.(1)若且，求证：必为的焦点；(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.【答案】(1)，解得，所以点由于，故的焦点为，所以在的焦点上.(2)设，则(其中)对称轴，所以当时，取到最大值，故，即，解得或因为，所以.(3),将直线方程与椭圆方程联立，消去得，其中恒成立。设，则设，令，则当且仅当时，等号成立，即时，故面积的最大值为.【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线和椭圆的位置关系、基本不等式；(1)利用两点间的距离公式和椭圆的基本量间的关系进行判定；(2)利用两
10、点间的距离公式和椭圆的范围进行求解；(3)联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式进行求解.21已知数列)，若为等比数列，则称具有性质.(1)若数列具有性质，且，求、的值；(2)若，求证：数列具有性质；(3)设，数列具有性质，其中，若，求正整数的取值范围.【答案】(1)由得，根据题意，数列具有性质，可得为等比数列.，所以，故.(2)，故(常数)所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，故数列具有性质(3)，所以，得数列具有性质，所以成等比数列，故于是，即，其中，即若为偶数，则，即；若为奇数，则，即；综上可得，的取值范围是且.【解析】本题考查等比数列、新定义数列的性质；(1)由所给的起始项和等比数列进行求解；(2)利用数列的性质进行判定；(3)先利用数列的通项和前项和的关系得到的值，再利用新定义数列的性质和分类讨论思想进行求解.
