1、选修44 坐标系与参数方程第1讲 坐标系考纲展示三年高考总结1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.从近三年高考情况来看，极坐标部分重点考查极坐标与直角坐标的互化尤其是涉及直线与圆的极坐标方程问题一般为
2、选择题、填空题，难度不大解题时，要熟记直角坐标系与极坐标的互化公式，增强转化和化归的数学意识的培养.考点多维探究考点 1 平面直角坐标系中的伸缩变换 回扣教材设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换xx0yy0典例1 2016朝阳模拟求椭圆x24 y21，经过伸缩变换x12xyy后得到的曲线方程解 由x12xyyx2xyy代入得2x24y21 即 x2y21.求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线 yf(x)在变换：xx0yy0 的作用下的变换方程的求法是将xxyy代入 yf(
3、x)，得y fx，整理之后得到 yh(x)，即为所求变换之后的方程【跟踪训练】12016佛山模拟设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，求在这一坐标变换下正弦曲线 ysinx 的方程解 由x12xy3yx2xy13y代入得13ysin2x即 y3sin2x.考点多维探究考点 2 极坐标与直角坐标的互化 回扣教材 1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个、一个(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系定点射线长度单位角度单位(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为 0
4、，可取任意实数(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，)R，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有种表示如果规定 0,00)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程 8sin 为直角坐标方程解(1)将 xcos，ysin 代入 x2y2r2 中，得 2cos22sin2r2，即 2(cos2sin2)r2，r.所以以极点为圆心、半径为 r 的圆的极坐标方程为 r(02)解(2)极坐标方程 8sin 由公式两边都乘以，得 28sinx2y28yx2(y4)216.极坐标与直角坐标互化的注意点 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象
5、限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一 (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性【跟踪训练】2已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2，22 2cos4 2.(1)把圆 O1和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；解(1)2 即 24，x2y2422 2cos4 222 222 cos 22 sin 222cos2sin20 x2y22x2y20(x1)2(y1)24(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(2)x2y22x2y20 x2y24 得2x2y2 即 xy1cossin12sin4 1sin4 22.考点多维探究考点 3 极坐标方程及其应用 回
6、扣教材 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆r 0,2)圆心为(r,0)，半径为 r 的圆2rcos22曲线图形极坐标方程圆心为r，2，半径为 r 的圆2rsin0过极点，倾斜角为 的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线cosa22(1)(R)或(R)(2)和 曲线图形极坐标方程过点a，2，与极轴平行的直线sina0典例3 2014江西高考若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y1x(0 x1)的极坐标方程解 因为 xcos，ysin，且 y1x，所以 sin1cos，所以(sincos)1，1sincos.又 0 x1，所以 0
7、y1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则 02.即线段的极坐标方程是 1cossin，02.极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程(2)求点到直线的距离先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解(3)求线段的长度先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度【跟踪训练】32014陕西高考在极坐标中，求点2，6 到直线 sin6 1 的距离解 点2，6 化为直角坐标为(3，1)，直线方程
8、可化为 32 sin12cos1，即 x 3y20，由点到直线的距离公式得 d|3 312|12 32 1.方法与技巧1确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便 失误与防范简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 和 的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题因忽视极坐标系下点的极坐标
9、不唯一性致误典例 在极坐标系下，若点 P(，)的一个极坐标为4，23，求以2，2 为坐标的不同的点的极坐标自我矫正 4，23 为点 P(，)的一个极坐标4 或 4.当 4 时，2k23(kZ)，22，2k3(kZ)当 4 时，2k53(kZ)，22，2k56(kZ)2，2 有四个不同的点：P12，2k3，P22，2k43(kZ)，P32，2k56，P42，2k116(kZ)错解 甲：解 4，23 化为直角坐标为(2,2 3)，故该点与原点的中点坐标为(1，3)，化为极坐标为2，23.乙：解 4，23，故22，23，因此所求极坐标为2，3.错因分析 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(，)与2，2的关系并不是点(，)与极点的中点为2，2，从几何意义上讲点2，2 应满足该点的极角为 的12，极径为 的12.乙生解法中满足2，2 的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(，)的其他形式的极坐标进行讨论答题启示 极坐标方程与直角坐标方程的互化易出现的问题就是错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式；二是注意方程中的限制条件课后课时作业
