1、广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试（5）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则集合可以表示为（ ）A B C D2、已知向量，若，则实数的值为（ ）A B C D3、若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A， B，C， D，4、直线与圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定5、若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是（ ）A B C D6、已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则
2、该锥体的俯视图可以是（ ）A B C D7、已知为实数，则是关于的绝对值不等式有解的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8、已知是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射满足：对任意，以及任意，都有，则称映射具有性质给出如下映射：，（，）；，（，）；，（，）其中，具有性质的映射的序号是（ ）A B C D二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9、已知，则的值是 10、已知为自然对数的底数，则曲线在点处的切线斜率是 11、已知随机变量服从正态分布若，则 12、已知幂函数（）为偶函数，且在区间上是单调增函数，则
3、的值是 13、已知，且，则可推出，由此，可推出 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标是 15、（几何证明选讲选做题）如图，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16、（本小题满分12分）已知，求的值；当时，求的最值17、（本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科、文科两个学习兴趣小组，
4、两组的人数如下表所示现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取名同学进行测试求从理科组抽取的同学中至少有名女同学的概率；记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望18、（本小题满分14分）如图，矩形中，、分别为、边上的点，且，将沿折起至位置（如图所示），连结、，其中求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值19、（本小题满分14分）若数列的前项和为，对任意正整数都有，记求，的值；求数列的通项公式；若，求证：对任意，都有20、（本小题满分14分）已知椭圆（，）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，、分别是椭圆的左、右两个顶点，为椭圆上的动点求椭
5、圆的标准方程；若与，均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线21、（本小题满分14分）已知函数若，求在点处的切线方程；求函数的极值点；若恒成立，求的取值范围参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BDCAACBB二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9、 10、 11、 12、 13、（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14、 15、三、解答题
6、（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16、解： 1分2分4分6分8分10分11分，12分17、解：两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女所以所求的概率为：4分由题意可知的所有可能取值为0,1,2,35分相应的概率分别是,9分所以的分布列为：0123P12分18、证明：由翻折不变性可知，在中，所以 2分在图中，易得在中,所以4分又，平面，平面所以平面. 6分解法二图ABCDPEFHxyz解法一图ABCDPEF解：（方法一）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示
7、，则，所以，8分设平面的法向量为,则,即,解得令，得12分设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分方法二:过点作于由知平面，而平面所以，又，平面，平面所以平面所以为直线与平面所成的角9分在中，11分在中，由等面积公式得13分在中，所以直线与平面所成角的正弦值为14分19、解：由，得，解得 1分，得，解得 3分解：由 当时，有 4分得：5分数列是首项，公比的等比数列6分7分8分证明：(1)(2)， ()9分(1)+(2)+ +()得10分 ， 11分12分13分对任意均成立14分20、解：由题意可得圆的方程为，直线与圆相切，即，1分又，即，解得， 所以椭圆方程为3分证明：设，
8、 ，则，即， 则，4分即，为定值6分解：设，其中由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中8分当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段； 9分当时，方程变形为，其中，11分当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆14分21、解：的定义域为1分若，则，此时因为，所以所以切线方程为，即3分由于，当时，令，得，（舍去）且当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，的极小值点为5分当时，当时，令，得,(舍去)若，即，则，所以在上单调递增；若，即， 则当时，；当时，所以在区间上是单调递减，在上单调递增7分当时，令，得，记若，即时，所以在上单调递减若，即时由得，且当时，；当时，；当时，所以在区间上单调递减，在上单调递增；在上单调递减9分综上所述,当时,的极小值点为和，极大值点为；当时,的极小值点为；当时,的极小值点为10分函数的定义域为.由，可得（*）当时，不等式（*）恒成立当时，即，所以；当时，不等式（*）恒成立等价于恒成立或恒成立.令，则令，则而，所以，即因此在上是减函数所以在上无最小值所以不可能恒成立令，则因此在上是减函数，所以，所以.又因为，所以.综上所述，满足条件的的取值范围是14分
