1、第四章函数应用本章复习提升易混易错练易错点1忽视对参数取值范围的讨论导致错误1.()若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.2.(2020北京首都师范大学附属中学高一下期中,)已知a是实数, 关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在区间-1,1上有实数根, 求a的取值范围.易错点2忽视实际问题中函数的定义域导致错误3.(2021四川泸州泸县一中高一上月考,)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)和时间t(tN)(单位:天)的关系如图所示:(1)请确定销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式;(2)该商品的日销售量Q(单位:件)与时间t(天)的关系:Q=
2、-t+40(0t30,tN),求该商品的日销售金额y(单位:元)与时间t(天)的函数解析式;(3)求该商品的日销售金额y(元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天?易错点3忽视分段函数的计算方法导致错误4.()某购物站在2019年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”的优惠.小淘在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品42件,为使花钱总数最少(不能多买),他最少需要下的订单张数为()A.1B.2C.3D.45.(2021河南洛阳高一上期中,)已知函数f(x)=x+1,x0,lgx,x0,若存在互不相等
3、的实数a,b,c,d满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|,则a+b+c+d的取值范围为()A.(0,+)B.(-2,+)C.2,8110D.0,81106.()某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)设一次订购量为x,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;(2)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少?如果订购1 000个,利润又是多少?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-
4、成本)7.(2019四川成都石室中学高一上期末检测,)目前,某市出租车的计价标准是:路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9(1+50%)=2.85元/km).(1)若0x20,将乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(单位:km)的分段函数;(2)某乘客行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱?思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.()原有一片面积为a的森林
5、,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?二、数形结合思想在解决函数问题中的应用2.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)函数f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则有()A.m=1 B.m(0,1)C.m(1,2) D.m(2,+)3.()函数f(x)=12x-x2的零点个数为()A.1 B.2C.3 D.44.(2021重
6、庆缙云教育联盟高一上月考,)已知函数f(x)=|log3(x-1)|-13x-1有2个不同的零点x1,x2,则()A.x1x2x1+x2 D.x1x2x1+x2三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用5.(2021四川成都外国语学校高一上月考,)已知函数f(x)=-(x-1)2+1,x2,12f(x-2),x2,若函数F(x)=f(x)-mx有4个零点,则实数m的取值范围是()A.52-6,16B.52-6,3-22C.120,3-22D.120,166.(2019湖南明德中学高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)若k=2,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)在
7、(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:1x1+1x20,|x+3|,-4x0时,此函数图像开口向上, f(0)=-10,结合二次函数图像知符合题意;当a0时,此函数图像开口向下, f(0)=-10,由图像(图略)得=1+4a=0,-12a0时,当-12a-1,即0a12时,需使f(-1)0,f(1)0,即a5,a1,无解,a;当-1-12a12时,需使f(-12a)0,f(1)0,即-12a-3-a0,a1,解得a1,a的取值范围是1,+).当a0时, 当01时,即- 12a0时,需使f(-1)0,f(1)0,即a5,a1,a.综上所述 ,a的取值范围是-,-3-72
8、1,+).易错警示本题考查的是由二次函数零点的分布求参数范围的问题,当二次函数(方程)的二次项系数含有参数时,需要对参数进行分类讨论.3.解析(1)当0t25,tN时,设P=at+b(a0),将点(0,19),(25,44)代入,得19=b,44=25a+b,解得a=1,b=19,P=t+19(0t25,tN),当25t30,tN时,同理可得P=-t+100,综上所述,销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式为P=t+19,0t25,tN,-t+100,25t30,tN.(2)由题意得,y=PQ,由(1)得y=(t+19)(-t+40),0t25,tN,(-t+100)(-t+40),25t
9、30,tN,即y=-t2+21t+760,0t25,tN,t2-140t+4000,25t30,tN.(3)由y=-t2+21t+760,0t25,tN,t2-140t+4000,25t30,tN,当0t0,则|f(x)|=-x-1,x(-,-1),x+1,x-1,0,-lgx,x(0,1),lgx,x1,+),画出函数|f(x)|的图像,如图所示:设|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则k(0,1,不妨取ab0c1d,根据对称性知a+b=-2,-lg c=lg d,即cd=1,c+d=d+1d,d(1,10,故d+1d2,10110,故a+b+c+d0,8110.故选
10、D.易错警示对于分段函数,需特别注意以下几点:(1)分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围,有不同的对应法则的函数;(2)分段函数是一个函数;(3)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.6.解析(1)若实际出厂单价为51元,则订购量为100+60-510.02=550,当0x100时,P=60;当100x550时,P=60-0.02(x-100)=62-x50;当x550时,P=51.因此,P=60,0x100,62-x50,100x550,51,x550.(2)设工厂获得的利润为L元,当订购500个时,L=62-50050-40500=6 000;当订购1
11、 000个时,L=(51-40)1 000=11 000.故当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元.7.解析(1)由题意得车费f(x)关于路程x的函数为f(x)=8(0x2),8+1.9(x-2)(2x10),8+1.98+2.85(x-10)(10x20),即f(x)=8(0x2),4.2+1.9x(2x10),2.85x-5.3(1038.8,该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.思想方法练2.B3.C4.D5.B7.D1.解析(1)设每年砍伐面积的百分比为x0x34,则a(1-x)10=12a,根据题设构造方程,体现了方程思想.即
12、(1-x)10=12,解得x=1-12110,所以所求百分比为1-12110.(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的22,则a12n10=22a,即12n10=1212,解得n=5,再次构造方程,利用方程思想求解.所以到今年为止,已经砍伐了5年.(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a12m10=14a,即12m10=122,解得m=20,所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15年.2.B由f(x)=0得|log2x|=e-x=1ex,在同一坐标系中,作出函数y=|log2x|与y=1ex的图像,如图所示:以形助数,借助函数图像解决零点问题.由图像知, f(x)=0
13、有两实数解,且0x11x2,-log2x1=e-x1,log2x2=e-x2,log2x1+log2x2=e-x2-e-x1,log2(x1x2)=1ex2-1ex10,从而0x1x21,即0mx1,3-x23-x1,即3-x2-3-x10,log3(x1-1)(x2-1)0,0(x1-1)(x2-1)1,x1x2x1+x2,利用对数函数的单调性去掉对数符号.故选D.思想方法判断方程是否有解、解的个数及解所在的区间,判断函数零点的个数及零点所在区间等问题,往往通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了数形结合思想.5.B函数f(x)=-(x-1)2+1,x2,12f(x-2),x2,函数F(x)
14、=f(x)-mx有4个零点,即f(x)=mx有4个不同的交点.画出函数f(x)的图像,如图所示:以形助数,借助函数图像研究问题.由图可知,当2x4时,设对应二次函数顶点为A,则A3,12,kOA=123=16,对x的范围分类讨论,体现分类讨论的思想.当4x6时,设对应二次函数的顶点为B,则B5,14,kOB=145=120,所以120m16.当直线y=mx与2x4时所对应的二次函数图像相切时,直线y=mx与函数f(x)的图像有3个交点,此时y=mx,y=-12(x-3)2+12,化简,得x2+(2m-6)x+8=0,=(2m-6)2-48=0,解得m1=3-22,m2=3+22(舍);将直线与
15、二次函数图像相切转化为根的判别式为0.当直线y=mx与4x6时所对应的二次函数图像相切时,直线y=mx与函数f(x)的图像有5个交点,此时y=mx,y=-14(x-5)2+14,相切时也有两种情形,故继续分类讨论.化简,得x2+(4m-10)x+24=0,=(4m-10)2-424=0,解得m3=52-6,m4=52+6(舍);故当f(x)=mx有4个不同的交点时,m52-6,3-22.故选B.思想方法本题考查函数零点与方程根的关系,依题意,函数y=f(x)的图像与直线y=mx有4个交点,作出函数图像,通过图像分析找到临界情况,画图时要考虑自变量取值不同时.对应的函数不同.考查分类与整合的思想
16、方法.6.解析(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.对绝对值内的代数式分类,从而去掉绝对值.当x1或x-1时, f(x)=0可化为x2-1+x2+2x=0,即2x2+2x-1=0,解得x=-1-32或x=-1+32(舍去).当-1x1时, f(x)=0可化为2x+1=0,解得x=-12.针对另一种情形求函数的零点.综上所述, f(x)的零点为-1-32,-12.(2)当0x2时, f(x)=kx+1,0x1,2x2+kx-1,1x2.若f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,将零点所在的范围转化到更具体的范围中.则x1x2=-12,与x1,x2(1,2)不符合,因此,两个
17、零点分别在(0,1和(1,2)内.不妨设x1(0,1,x2(1,2),由x1(0,1得f(x1)=kx1+1=0,k=-1x1-1.由x2(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得f(1)f(2)0(k+1)(2k+7)0-72k-1.综上所述,-72k-1.证明:设g(k)=1x1+1x2,x1=-1k,x2=-k+k2+84或x2=-k-k2+84(舍去),g(k)=1x1+1x2=-k+4-k+k2+8=k2+8-k2=4k2+8+k,g(k)在-72,-1上单调递减,g(k)=1x1+1x2g-72=-722+8+722=4,即1x1+1x20)的图像与函数h(x)=loga(-x)(x0)的图像关于y轴对称,则函数f(x)图像上有且仅有两个点关于y轴对称的问题可转化为函数y=loga(-x)-|x+3|在-4x0上有唯一零点的问题.将对称问题转化为函数零点的个数问题.当0a1时,作出h(x)=loga(-x)(x0),f(x)=|x+3|(-4x1时,由函数h(x)=loga(-x)与f(x)=|x+3|(-4x1,又a1,所以1ah(1)=2,即a1,故a的取值范围是(1,+).将不等式恒成立转化为参数与函数的最值关系问题.
