1、广东省汕头市澄海中学2021届高三数学上学期第一次学段考试试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|1x2,Bx|xa,若ABA,则a的取值范围是( )Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|a22已知复数,则|z|( )ABCD3设,则( )AbacBcbaCbcaDcab4人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,3040分贝是较理想的安静环境,超过50分贝就会影响睡眠和休息,70分贝以上会干扰谈话,长期生活在90分贝以上的嗓声环境,会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病,如果突然暴露在高达1
2、50分贝的噪声环境中,听觉器官会发生急剧外伤,引起鼓膜破裂出血,双耳完全失去听力,为了保护听力,应控制噪声不超过90分贝,一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有f(x)10lg,则90dB的声音与50dB的声音强度之比为()A10B100C1000D100005已知函数f(x)是偶函数,当0时,则曲线yf(x)在x1处的切线方程为()AyxByx+2CyxDyx26已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的同侧,则不同的排法共有( )A240种B360种 C480种D600种7如图所示,在棱锥中,底面是正方形,边长为,.在这个四棱锥中放入一个球,则球
3、的最大半径为( )A B C D8已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点,AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点,若PQF2的周长为12,则ab取得最大值时双曲线的离心率为()ABCD二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分9下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是()A若两直线的斜率相等,则两直线平行 B若x5,则x10C若acbc,则ab D若sinsin,则10将函数的图象向左平移个单位长度,得到函
4、数f(x)的图象,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)的最小正周期是Cf(x)的图象关于直线对称 Df(x)的图象关于点对称11下列命题不正确的是( )A过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直B如果平面平面,平面平面,那么平面平面C已知,为直线,为平面,若,则D,为直线,为平面,.“”的充要条件是“,且”12对于函数,下列结论正确的是( )A任取x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|2恒成立B对于一切x,都有f(x)2kf(x+2k)(kN*)C函数yf(x)ln(x)有3个零点D对任意x0,不等式f(x) 恒成立,则实数k的取值范围是)三填空题:本题共
5、4小题,每小题5分,共20分13已知实数,满足不等式组,则目标函数的最大值为 14已知,展开式的常数项为15,则 15如右图所示,四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 上有3个不同的点, 则=_16设函数f(x)|ln(x)|+x2,则使得f(2x)f(x+1)成立的x的取值范围是 四、解答题(共6小题,满分70分)17(10分) 在等差数列an中,已知a616,a1636(1)求数列an的通项公式an;(2)若_,求数列bn的前n项和Sn在,这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解18(12分)某市规划一个平面示意图为如图五边形ABCDE的一条自行车赛道,ED,DC,
6、CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道,BCDCDEBAE,DE4km,BCCDkm(1)求服务通道BE的长度;(2)应如何设计,才能使折线段赛道BAE最长?19(12分)三棱锥平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,BAC90,A1A平面ABC,A1A1,(1)证明:BCA1D;(2)求二面角ACC1B的余弦值20(12分)某专业机械生产厂为甲乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨
7、损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲乙两地的试验的结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按(7,8,(8,9,(9,10,(10,11,(11,12分组进行统计,甲地的实验结果整理为如图的频率分布直方图(其中a,b,c成等差数列,且2c3b),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表抗疲劳次数(单位:万次)(7,8(8,9(9,10(10,11(11,12频数1015302520(1)求a,b,c的值并计算甲地实验结果的平均数(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列的22列联表:质量不优秀质量优秀总计甲地乙地总计试根据上面完成的22列联表,通过计算分析判断,能否
8、有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关?附:临界值表 P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中K2的观测值k(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件,在甲地实验条件下,以频率为概率,随机打开一个4个装的零件包装箱,记其中特优件的个数为,求的分布列和数学期望21(12分)已知椭圆G:+1(ab0),上顶点为B(0,1),离心率为,直线l:ykx2交y轴于C点,交椭圆于P,Q两点,直线BP,BQ分别交x轴于点M,N(1)求椭圆G的方程;(2)求证:SBOMSBC
9、N为定值22(12分)已知函数f(x)x22xalnx,g(x)ax(1)若a为负实数, 求函数F(x)f(x)+g(x)的极值;(2)若不等式对x0恒成立,求a的取值范围澄海中学2020-2021学年度第一学期第一次学段考试数学试卷 评分标准一、选择题答案(每小题5分,共40分;1-8题为单选题,9-12为多选题, 全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)题号123456789101112答案DBCDCCDABCDADBCDABC6【解析】根据题意,设6人中除甲乙丙之外的三人为a、b、c,分2步进行分析:,甲乙两人均在丙领导人的同侧,考虑甲乙两人的顺序,有224种情况,三人排好后
10、,有4个空位,在4个空位中任选1个,安排a,有4种情况,四人排好后,有5个空位,在5个空位中任选1个,安排b,有5种情况,五人排好后,有6个空位,在6个空位中任选1个,安排c,有6种情况,则剩余3人的安排方法有456120种,则6人不同的安排方法有4120480种;故选:C7【解析】由题意,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为,连接,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为,求出四棱锥的表面积,以及四棱锥的体积,利用公式,即可计算. 故选:D8【解析】由题意,ABF2的周长为24, |AF2|+|BF2|+|AB|24,|AF2|+|BF2|AB|4a,|AB|, 244a,b2a(6a)
11、,ya2b2a3(6a),y2a2(92a),0a4.5,y0,a4.5,y0,a4.5时,ya2b2取得最大值,此时ab取得最大值,b,c3,e, 故选:A11【解析】对于,根据线面垂直的定义,可得经过平面外一点作已知平面的垂线,有且仅有一条由此可得正确;在中,如果平面平面,平面平面,那么平面与平面相交或平行,故错误;在中,若,则与可能平行,可能异面,可能相交,故错误;在中,“”可得到“,且”, ,“,且”不能得到“”,故错 故选:12【解析】函数f(x)的图象如上图所示,由图象可知f(x)的最大值为1,最小值为1,A选项正确;又由图可知f(x+2k)()kf(x)(kN*)即f(x)2kf
12、(x+2k),B选项正确;由图象知yf(x)与yln(x)有3个交点,C选项正确;又由图象知对任意x0,不等式f(x) 恒成立须()n在nN*时恒成立,即k1,故D选项错误故选:ABC二、填空题答案(每小题5分,共20分)13 5 14 1 15 16(,)(1,+)15【解析】由图可知,FAC=30,ACF=60,即;则.同理所以.故答案为18.16【解析】根据题意,函数f(x)|ln(x)|+x2,其定义域为R,有f(x)|ln(+x)|+x2|ln(x)|+x2f(x),即f(x)的偶函数,当x0时,x,则有0x1,则有ln(x)0,则当x0时,f(x)|ln(x)|+x2ln(x)+x
13、2ln(+x)+x2,函数yln(+x)和yx2在区间0,+)上都是增函数,则f(x)在0,+)上为增函数,f(2x)f(x+1)f(|2x|)f(|x+1|)|2x|x+1|,变形可得:4x2x2+2x+1,即3x22x10,解可得:x或x1,即x的取值范围为(,)(1,+);四、解答题(共6道题,满分70分)17解:(1)由题意,设等差数列an的公差为d,则,解得, 3分故an6+(n1)22n+4,nN* 5分(2)方案一:选条件由(1)知, 7分则Snb1+b2+bn10分方案二:选条件由(1)知,(i)当n为偶数时,n1为奇数,Snb1+b2+bn 6+810+12(2n+2)+(2
14、n+4)(6+8)+(10+12)+(2n+2)+(2n+4)2+2+22n, 7分(ii)当n为奇数时,n1为偶数,Snb1+b2+bn6+810+122n+(2n+2)(2n+4)(6+8)+(10+12)+2n+(2n+2)(2n+4)2+2+2(2n+4)2(2n+4)n5, 9分 10分方案三:选条件由(1)知,(2n+4)22n+4,则Snb1+b2+bn626+828+10210+(2n+4)22n+4,6分两式相减,可得7分,9分 10分18 解:(1)连接BD,BCDCDEBAE,DE4km,BCCDkm在BCD中,由余弦定理可得:BD2BC2+CD22BCCDcosBCD3
15、+3+29,BD3,2分BCCD,CBDCDB,又CDE, BDE,在RtBDE中,BE5 6分(2)在BAE中,BAE,BE5,由余弦定理可得:BE2AB2+AE22ABAEcosBAE,即:25AB2+AE2+ABAE, 7分可得:(AB+AE)225ABAE()2,从而(AB+AE)225,即:AB+AE, 10分当且仅当ABAE时,等号成立, 11分即设计为ABAE时,折线段赛道BAE最长12分19(1)证明:A1A平面ABC,BC平面ABC,A1ABC, 1分在RtABC中,BC,由,得, 2分又,DBAABC,ADBBAC90,即ADBC, 3分又ADA1AA,故BC平面A1AD,
16、A1D平面A1AD,所以BCA1D;5分(2)以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 6分则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,),平面ACC1A1的法向量为, 7分设平面BCC1B1的法向量为,由,得,故, 9分所以,11分故二面角ACC1B的余弦值为12分20解:(1)由频率分布直方图的性质可得,0.05+a+b+c+0.351,即a+b+c0.6,a、b、c成等差数列,2ba+c,b0.2, 又2c3b,a0.1,c0.3, 2分3 ,故抗疲劳次数的平均数为9.3万次 3分 (2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:
17、抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.35+0.2+0.05)60件,不超过9万次的件数为1006040件,由乙地试验结果的分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为41+25+975件, 不超过9万次的件数为1007525件,补充完整的22列联表为 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 40 60 100 乙地 25 75 100 总计 65 135 2004 分, 5分有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关 6分(3)在甲地试验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为(0.2+0.05)10.25,以频率估计概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率为, 7分而的可能取值为0,
18、1,2,3,4, P(0),P(1),P(2),P(3),P(4) 10分的分布列为 0 1 2 3 4 P 数学期望E()12分21 解:(1)由题意可知:,解得,椭圆G的方程为:; 3分(2)设点P(x1,y1),点Q(x2,y2),联立方程,消去y得:(1+2k2)x28kx+60,4分, 5分点P(x1,y1),B(0,1),直线BP的方程为:y1x,令y0得,x,M(,0), 7分同理可得N(,0),8分SBOMSBCN|xMxN| 10分把式代入上式得:SBOMSBCN,SBOMSBCN为定值 12分22解:(1)F(x)x22xalnx+ax, F(x)的定义域为(0,+), 1
19、分,即2a0时,F(x)在和(1,+)上递增,在上递减,F(x)极小F(1)a1; 2分,即a2时,F(x)在(0,+)上递增,F(x)没有极值;3分,即a2时,F(x)在(0,1)和上递增,F(x)在上递减,F(x)极大F(1)a1,4分综上可知:当a2时,F(x)没有极值;当2a0时,F(x)极小F(1)a1; 当a2时,F(x)极大F(1)a1,5分(2)设(x0), 6分设tcosx,则t1,1, , 7分(t)在1,1上递增,(t)的值域为,当时,h(x)0,h(x)为0,+)上的增函数,h(x)h(0)0,适合条件; 8分当a0时,不适合条件; 9分当时,对于,令,存在,使得x(0,x0)时,T(x)0.T(x)在(0,x0)上单调递减,T(x0)T(0)0,即在x(0,x0)时,h(x)0,不适合条件 11分 综上,a的取值范围为 12分【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及函数的单调性的应用,考查分类讨论思想的应用,难度比较大