1、20062007学年度北京市西城区抽样测试（一模）高三数学（理）试卷 2007.4本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第一卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设复数为实数，则x等于（ ）A2B1C1D22设为两个平面，l、m为两条直线，且，有如下两个命题： 若若 那么（ ）A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C、都是真命题D、都是假命题3已知直线相切，那么a的值是（ ）A5B3C2D14设等比数列an的前n项和是Sn，且a1+a2=2，a2+a3=1，
2、那么Sn的值为（ ）ABCD5在的展开式常数项是（ ）A28B28C7D76已知函数等于（ ）AbBbCD7已知已知是直角三角形的概率是（ ）20070411ABCD8若集合A1，A2满足是A的一组双子集拆分.规定：A1，A2和A2，A1是A的同一组双子集拆分，已知集合A=1，2，3，那么A的不同双子集拆分共有（ ）A15组B14组C13组D12组第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9已知向量a=（1，3），b=（x，1），且a/b，则实数x= .10已知函数= .11在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是 ；变
3、量的最大值是 .12设双曲线，则双曲线的离心率e= .13过点（1，1）作曲线y=x3的切线，则切线方程为 .14对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论： ； ； 当时，上述结论正确结论的序号是 .（写出全部正确结论的序号）三、解答题（本小题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15（本小题满分12分）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角C的大小； （2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值.16（本小题满分13分）某次有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3千元，答对问题B可赢得奖金6千元.
4、规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答案对问题A、B的概率依次为. （1）若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望E； （2）你认为获得奖金期望值的大小与答题顺序有关吗？证明你的结论.2007041117（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD底面ABCD. （1）求证：平面PAB平面PAD （2）求二面角APDB的大小； （3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离.18（本小题满分14分）设an是公差d0的等差数列，Sn是其前n项的和. （1）若a1=4，且，求数列a
5、n的通项公式； （2）是否存在的等差中项？证明你的结论.19（本小题满分13分）设aR，函数 （1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值； （2）若f（x）在（，1）上为增函数，求a的取值范围.20（本小题满分14分）给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O 为坐标原点. （1）求的值； （2）设时，求的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CDBADACB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9； 10 2 11（2分），9（3分）12 133xy2=0（2分）或3x4y+1=0（3分） 14
6、、注：其中14题多答、少答、错答均不给分三、解答题；本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分12分）（1）解：由得1分整理得3分因为在ABC中，0C，所以4分所以从而即6分（2）解：因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac7分由（1）知，ABC是以角C为直角的直角三角形，所以c2=a2+b2,将b2=ac代入整理得9分上式两边同除以c2，得，因为10分注意到解得12分16（本小题满分13分）（1）解：按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0，3（千元），9（千元）因为4分039P所以的分布列为 5分的数学期望值E=0P（=0）+3P（=3）+9P
7、（=9）=2.56分（2）解：按先B后A的次序答题，获得奖金数额的可取值为0，6（千元），9（千元）因为10分所以的数学期望E=0P（=0）+6P（=3）+9（=9）=2.511分由于按先A后B或先B后A的次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关。13分17（本小题满分14分）解法一：（1）证明：3分又AB平面PAB，平面PAB平面PAD4分（2）解：取PD的中点E，连接AE，BEAB平面PADAE是BE在平面PAD上的射影，PAD是正三角形，AEPD，由三垂线定理得BEPDAEB是二面角APDB的平面角7分在RtBAE中，二面角APDB的大小为10分（3）解：
8、取AD的中点F，连结AF，平面PAD平面ABCD，且PFAD，PF平面BCD设点D到平面PBC的距离为h，在PBC中，易知PB=PC=又即点D到平面PBC的距离为14分解法二：（1）证明：建立空间直角坐标系Dxyz，如图不妨设A（1，0，0）则B（1，1，0），P（由由ABAD，AB平面PAD3分又AB平面PAB，平面PAB平面PAD4分（2）解：设E为PD的中点，则E（，由所以AEB是二面角APDB的平面角7分二面角APDB的大小为（3）解：取AD的中点F，连结PF，平面PAD平面ABCD，且PFAD，PF平面BCD设点D到平面PBC的距离为h，在PBC中，易知PB=PC=又即点D到平面PB
9、C的距离为14分18（本小题满分13分）（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+）1分对求导数，得（a0）3分解不等式0，得0xe4分解不等式0，得xe5分故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减6分（2）解：当2ae时，即时，由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，所以7分当ae时，由（1）知f（x）（e，+）上单调递减，所以8分当的大小因为10分所以，若若12分综上，当13分19（本小题满分14分）（1）解：根据抛物线方程可得F（1，0）1分设直线l的方程为将其与C的方程联立，消去x得3分设A，B的坐标分别为则y1y2=44分因为5分故6分（2）解：因为所以即8分又 由、
10、消去将其代入，注意到从而可得11分故三角形OAB的面积12分因为即可，解得14分20（本小题满分14分）（1）解：设等差数列an的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=2，所以2分由=10得适合条件；又所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn20，适合条件综上，SnW4分（2）解：因为所以当n3时，此时数列bn单调递减；当n=1，2时，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7所以M78分（3）解：假设存在正整数k，使得成立由数列cn的各项均为正整数，可得因为由因为依次类推，可得设这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意nN*,都有成立.14分
