1、考点22 正弦定理和余弦定理的应用1在中，则的形状一定是（ ）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 直角三角形【答案】D 2我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?” （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视
2、线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为（ ）A 1055步 B 1255步 C 1550步 D 2255步【答案】B【解析】如图，设岛高步，与前标杆相距步，则有解得步，即海岛高度为步，故选B.3已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A B C D 【答案】D 4如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）A B C D 【答案】A 5位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后测得该
3、船只位于观测站A北偏东的C处，海里在离观测站A的正南方某处D，. （1）求； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）.【答案】；【解析】（1）， 6风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，PAB75，QAB45，PBA60，QBA90，如图所示则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？【答案】【解析】PAB中，APB180(7560)45，由正弦定理得AP50.QAB中，ABQ90，AQ100，PAQ754530，由余弦定理得PQ2(50)2(100)2250
4、100cos305000，PQ50.因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.7设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项（）求角；（）设，求周长的最大值【答案】(1)60；(2)6. 8如图，ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记BAD，ADC. （1）求的最大值；（2）若BD1，求ABD的面积【答案】(1)当，即D为BC中点时，原式取最大值;(2).【解析】（1）由ABC是等边三角形，得，0，故2coscos=2coscossin，故当，即D为BC中点时，原式取最大值（2）由cos ，得sin ，故sin sinsin coscos sin，由正
5、弦定理，故AB BD1 ，故SABDABBDsin B9已知中，角所对的边分别为且 （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值。【答案】；（2） 10的内角，所对的边分别为，且的面积.（1）求；（2）若、成等差数列，的面积为，求.【答案】（1）；（2）. 11在中， 是边的中线， ,且的面积为.(1)求的大小及的值;(2)若,求的长.【答案】(1) ， . (2) .【解析】 12如图,在四边形中,.（）求的长; （）求证: . 13如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为.（1）求的长；（2）若， ， ， ，
6、求信号塔的高度.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）在中， ， ， .由正弦定理， ；（2）由（1）及条件知， ， ， ， .由正弦定理得.14在中，内角，所对的边分别是，已知（）求；（）当时，求的取值范围【答案】（）；（）. 15已知的内角的对边分别为，若，.（）求；（）当的面积取最大值时，求的值【答案】(1);(2). 16在中，点在边上，且.（1）若，求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】解法一：由题意可得，则.结合余弦定理有. （1）在中，由余弦定理，解方程可得，所以，在中，由正弦定理可得，结合大边对大角可得 ，则 .在中，由正弦定理，由余弦定理， 又因为，所以
7、所以，所以 17若满足,，的有两个，则实数的取值范围为_【答案】（3，6） 18如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高_.【答案】150 19在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则_【答案】【解析】因为的面积为， 20如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为_尺【答案】【解析】如图，已知（尺），（尺）， ，解得，因此，解得，故折断后的竹干高为尺.21设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为_【答案】，的取值范围为 X*K22如图，在中，分别为的中点，若，则_. 【答案】 ，据此可得：.23在中，点在边上，平分，是边上的中点，则_.【答案】 24四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， _【答案】【解析】设, ,当时,取得最大值,故填 25我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为里， 里， 里，假设里按米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为_米.【答案】
