1、课时素养评价五十事件的独立性 (15分钟35分)1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可知甲乙同时中靶的概率为=.【补偿训练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几项标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.B.C.D.【解析】选B.由独立事件概率公式计算可得:该生各项均合格的概率为=.2.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(
2、3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为()A.0.504B.0.994C.0.496D.0.064【解析】选B.1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.3.中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学只能选择一门课程,则甲乙两人至少有1人选择“礼”的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意,甲和乙不选择“礼”的概率均是,且相互独立,所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是=,所以甲乙两人至少有1人选择“礼”的概率是1-=.4.某校组织最强大脑PK赛,最终A,B两队进入决赛
3、,两队各由3名选手组成,每局两队各派一名选手PK,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.比赛结束时A队的得分高于B队的得分可分为以下3种情况:第一局:A队赢,第二局:A队赢,第三局:A队赢;第一局:A队赢,第二局:B队赢,第三局:A队赢;第一局:B队赢,第二局:A队赢,第三局:A队赢,则对应概率为+2=.5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.【解析】依题意得,
4、加工出来的零件的正品率是=,因此加工出来的零件的次品率是1-=.答案:6.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内,求:(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;(2)至少有一个气象台预报准确的概率.【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(AB)=P(A)P(B)=.(2)至少有一个气象台预报准确的概率P=1-P()=1-P()P()=1-=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒,某辆车在这段
5、道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为=.2.如图,元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是()A.0.729B.0.882 9C.0.864D.0.989 1【解析】选B.电流能通过A1,A2的概率为0.90.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2也不能通过A3的概率为=0.019,所以电流能通过系统A1,A2,或A3的概率为1-0.019=0.981,而电流能通过A4的概率为0.9,所以电流能在M,N之间通过
6、的概率为0.9810.9=0.882 9.【补偿训练】电路从A到B共连接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A到B连通的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.可知A,C之间未连通的概率是=,连通的概率是1-=.E,F之间连通的概率是=,未连通的概率是1-=,故C,B之间未连通的概率是=,故C,B之间连通的概率是1-=,故A,B之间连通的概率是=.3.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始,正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方
7、比分为2020时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成2929时,那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中,甲发球赢球的概率为,甲接球贏球的概率为,则在比分为2020,且甲发球的情况下,甲以2321赢下比赛的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.设双方2020平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,3,),则P(甲以2321赢)=P(A2A3A4)+P(A1A3A4)=P()P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P()P(A3)P(A4)=+=.4.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于()A
8、.B.C.D.【解析】选D.由题意,P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y,则即所以x2-2x+1=,所以x-1=-,或x-1=(舍去),所以x=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列结论正确的是()A.P(B)=B.事件B与事件A1相互独立C.事件B与事件A2相互独立D.A1,A2互斥【解
9、析】选AD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数:因此P(A1)=,P(A2)=,P(B)=,A正确;又P(A1B)=,因此P(A1B)P(A1)P(B),B错误;同理,C错误;A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故D正确.6.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P=,P=,且A1,A2独立;在A中,2个球都是红球为A1
10、A2,其概率为=,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-=,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为+=,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.国产杀毒软件进行比赛,每个软件进行四轮考核,每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是,且各轮考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为.【解析】设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该软件能通过第i轮考核”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P
11、(A4)=,设事件C表示“该软件至多进入第三轮”,则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=+=.答案:8.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是.【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件A1
12、A2A3A1A3A2A3发生,故所求概率P=P(A1A2A3A1A3A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.60.5+0.80.40.5+0.20.60.5=0.46.答案:0.46四、解答题(每小题10分,共20分)9.小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.【解析】用A,B,C分
13、别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.(1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.20.70.9+0.80.30.9+0.80.70.1=0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率P2=1-P()=1-P()P()P()=1-0.20.30.1=0.994.10.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9
14、,求:(1)2人都射中目标的概率;(2)2人中恰有1人射中目标的概率;(3)2人至少有1人射中目标的概率;(4)2人至多有1人射中目标的概率.【解析】设“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72.(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率P=P(A)+P(B)=P(A)
15、P()+P()P(B)=0.8(1-0.9)+(1-0.8)0.9=0.08+0.18=0.26.(3)“2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况,其概率P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.72+0.26=0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况,故所求概率P=P()+P(A)+P(B)=P()P()+P(A)P()+P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.1.某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,则部件正常工作,若四个电子元件的使用寿命超过1 0
16、00小时的概率都为,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.【解析】设事件A为元件1或元件2正常工作,事件B为元件3或元件4正常工作,所以P(A)=1-=,P(B)=1-=,所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(AB)=P(A)P(B)=.答案:2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.(1)
17、求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率;(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率;(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率.【解析】(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1;设事件E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格,则P(E)=P(A1)=0.50.4=0.2.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,则P(A)=0.50.6=0.3,P(B)=0.60.5=0.3,P(C)=0.40.5=0.2.(3)设事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则P(F)=P(A)+P+P(C)=0.30.70.8+0.70.30.8+0.70.70.2=0.434=.
