1、柱坐标系与球坐标系简介A级基础巩固一、选择题1点M的直角坐标为(,1,2),则它的柱坐标为()A.B.C. D.解析:2,tan ,所以点M的柱坐标为.答案:C2已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为()A. B.C. D.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),因为点M的球坐标为,所以x1sin cos ,y1sin sin ,z1cos .所以M的直角坐标为.答案:B3已知点P的柱坐标为,点Q的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()A点P(5,1,1),点QB点P(1,1,5),点QC点P,点Q(1,1,5)D点P(1,1,5),点Q答案:B4在空间直角坐标系中的点M(x,y
2、,z),若它的柱坐标为,则它的球坐标为()A. B.C. D.解析:因为M点的柱坐标为M,设点M的直角坐标为(x,y,z)所以x3cos ,y3sin ,z3,所以M点的直角坐标为.设点M的球坐标为(,)是球面的半径,为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角,为向量OM与z轴正方向夹角所以r 3,容易知道,同时结合点M的直角坐标为,可知cos ,所以,所以M点的球坐标为.答案:B5在直角坐标系中,点(2,2,2)关于z轴的对称点的柱坐标为()A. B.C. D.解析:(2,2,2)关于z轴的对称点为(2,2,2),则2,tan 1,因为点(2,2)在平面Oxy的第三象限内,所以,所以所求柱坐标
3、为.答案:C二、填空题6已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为_,它的柱坐标是_答案:(2,2,2)7已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在数轴Oy上的射影为N,则|OM|_,|MN|_解析:设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN,则PN为线段MN在平面xOy上的射影因为MN直线Oy,MP平面xOy,所以PN直线Oy.所以|OP|2,|PN|1,所以|OM|3.在RtMNP中,MPN90,所以|MN|.答案:38若点P的柱坐标为,则点P的球坐标为_解析:点P的柱坐标为,则点P的直角坐标为,故r 3.由33cos ,cos ,得,又tan ,又的终边过点,故为,故点P的球坐标为.答案:三、解
4、答题9设点M的直角坐标为(1,1,),求点M的柱坐标与球坐标解:由坐标变换公式,可得,tan 1,(点1,1)在平面xOy的第一象限r2.由rcos z(0),得cos ,.所以点M的柱坐标为,球坐标为.10在球坐标系中,求两点P、Q的距离解:将P,Q两点的球坐标转化为直角坐标:P:x3sin cos ,y3sin sin ,z3cos ,所以点P的直角坐标为.Q:x3sin cos ,y3sin sin ,z3cos ,所以点Q的直角坐标为.所以|PQ|,故P、Q两点间的距离为.B级能力提升1已知点P1的球坐标为,P2的柱坐标为,则|P1P2|()A. B.C. D4解析:设点P1的直角坐标
5、为(x1,y1,z1),则得故P1(2,2,0),设点P2的直角坐标为P2(x2,y2,z2),故得故P2(,1,1)则|P1P2| .答案:A2在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10),C1,则此长方体外接球的体积为_答案:3设地球的半径为R,在球坐标系中,点A的坐标为(R,45,70),点B的坐标为(R,45,160),求A,B两点间的球面距离解:设纬度圈的圆心为O,地球球心为O,如图所示,OAOBR,由点A,B的球坐标可知,BOO45,AOO45,这两个点都在北纬904545圈上则xOQ70,xOH160,所以AOB1607090.因为OBR,OBOAR,所以ABR.则AOBOABR.所以AOB60,2RR.即A,B两点间的球面距离为R.