1、课时素养评价 二十一函数的单调性的应用 (15分钟35分)1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有0成立,则必有()A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增【解析】选A.由0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当ab时,f(a)b时,f(a)f(b),所以f(x)在R上是增函数.2.已知:f(x)=-,则()A.f(x)max=,f(x)无最小值B.f(x)min=1,f(x)无最大值C.f(x)max=1,f(x)min=-1D.f(x)max=1,f(x)min=0【解析】选C.f(x)=-的定义域为0
2、,1,因为f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1.3.已知函数y=ax和y=-在(0,+)内都是减少的,则函数f(x)=bx+a在R上是()A.减函数,且f(0)0B.增函数,且f(0)0D.增函数,且f(0)0【解析】选A.由题意得a0,即a0,且b0,故f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=ax2-2,则x1-x20,x1+20,x2+20,则f(x1)-f(x2)=-=0.即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-2,+)上单调递增. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共25分)1.已知y=ax+1,在1,2上的最大值与最小值的差为2,则
3、实数a的值是()A.2B.-2C.2,-2D.0【解析】选C.当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;当a0时,y=ax+1在1,2上递增,则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当af(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)0,得a2+1a,从而f(a2+1)0,并且-1+3a,即a.综上所述,a的取值范围为.【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性,忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系,但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.4.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2且x1x2都有f(x1)-f(x2)(x1-
4、x2)0成立,若f(x2+1)f(m2-m-1)对xR恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.-1,2C.(-,-1)(2,+)D.(-,-12,+)【解析】选A.由题意,可知因为对任意的x1,x2且x1x2都有f(x1)-f(x2)(x1-x2)0成立,所以函数f(x)为增函数.又因为f(x2+1)f(m2-m-1)对xR恒成立,所以x2+1m2-m-1,所以m2-m-11,即:m2-m-20.解得-1m2.5.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【
5、解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,若f(x)=x,则y=,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2R,设x1x2,必有f(x1)0,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.【光速解题】利用特殊值法,设出具体函数,化抽象为具体,逐项分析,得出答案.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)6.已知函数f(x)=(a0)在区间(-2,+)上单调递增,则a,b的取值可以是()
6、A.a=1,bB.0a1,b=2C.a=-1,b=2D.a=,b=1【解析】选ABD.根据题意,若a0,函数f(x)=+,其定义域为,若函数f(x)=在区间(-2,+)上单调递增,必有-2且3-0,即03.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2,2)上的减函数,若f(m-1)f(1-2m),则m的取值范围是.【解题指南】根据单调减函数的定义,函数值越大,自变量反而小,据此脱掉“f”,得到关于m的不等式.【解析】由题意得解得-m.答案:8.函数f(x)=x(|x|-2)在m,n上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为.【解析】函数f(x)=x(|x|
7、-2),当x0时,f(x)=x2-2x;当x0时,x2-2x=1,解得x=1+;当x0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,即有f(x)在-1-,1+内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.答案:2+2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=mx+,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.(1)求m,n的值;(2)证明:f(x)在2,+)上单调递增.【解析】(1)由题意可得,解方程可得,m=1,n=4,(2)由(1)可得,f(x)=x+,设2x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+-=x1-x2+=,因为2x1x2,所以
8、0,即f(x1)f(m2),求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=3+,f(x)在(-2,+)上单调递减,证明如下:设x1x2-2,则:f(x1)-f(x2)=-=,因为x1x2-2,所以x1+20,x2+20,x2-x10,所以f(x1)f(m2)得,解得1m,所以m的取值范围为(1,).1.当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是.【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.(1)当-1时,即m-2时满足f(2)=4+2m+40,所以m-4,又m-2,所以此时无解.(2)当-2,即m-4时需满足f(1)=1+m+40所以m-5,又
9、m-4,所以m-5.(3)当1-2,即-4m-2时,需满足此时无解.综上所述m-5.答案:m-52.设f(x)是定义在(0,+)上的函数,满足条件:f(xy)=f(x)+f(y);f(2)=1;在(0,+)上是增函数.如果f(2)+f(x-3)2,求实数x的取值范围.【解析】因为f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),又f(2)=1,所以f(4)=2.因为f(2)+f(x-3)=f2(x-3)=f(2x-6),所以f(2)+f(x-3)2可化为f(2x-6)2=f(4),即f(2x-6)f(4).因为f(x)在(0,+)上单调递增,所以解得3x5,故x的取值范围为(3,5.
