1、2016年河北省沧州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）2设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为=（）AB2CD13某地区有大型超市x个，中型超市y个，小型超市z个，x：y：z=1：5：9，为了掌握该地区超市的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则抽取的中型超市的个数为（）A2B5C10D184焦点为（0，6），且与双曲线=1有
2、相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD5执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A0B2C4D0或46已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和，则|MN|=（）A1BC2D7在等差数列an中，a1=2016，其前n项和为Sn，若=3，则S2016=（）A2016B2015C2016D20158某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（）A4B6C8D99在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数为（）A162B163C164D16510已知函数f（x）=ex+a，g（x）=x24x+2，设函数h
3、（x）=，若函数h（x）的最大值为2，则a=（）A0B1C2D311抛物线y2=mx（m0）的焦点为F，抛物线的弦AB经过点F，并且以AB为直径的圆与直线x=3相切于点M（3，6），则线段AB的长为（）A12B16C18D2412已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，函数y=f（x+1）1为奇函数，则函数f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量，满足|=1，|=， +=（，1），则cos，=_14等比数列an中，an0，a3+2a2=a4，则数列an的公比为_15函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象如图所示，已知图
4、象经过点A（0，1），B（，1），则f（x）=_16已知数列an中，a1=1，an+1=c+，1an4成立，则c的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（xR）（）当x，时，求f（x）的最大值（）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，sinB=2sinA，求a18四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，AB=BC=2CD=2，AP=PB=3，PC=（）求证：直线PD平面ABCD；（） E是棱PB的中点，求直线PA与平面AEC所成的角的正弦值19一袋子中有1
5、0个大小相同标有数字的小球，其中4个小球标有数字1，3个小球标有数字2，2个小球标有数字3，1个小球标有数字4从袋子中任取3个小球（）求所取的3个小球中所标有数字恰有两个相同的概率；（）X表示所取的3个小球所标数字的最大值，求X的分布列与数学期望20如图，已知P是以F1（1，0）为圆心，以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M（）求点M的轨迹C的方程；（）已知点E坐标为（4，0），并且倾斜角为锐角的直线l经过点F2（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，（）求证：AEF2=BEF2；（）若cosAEB=，求直线l的方程21已知函数f（x）=+x，曲线y
6、=f（x）在（2，f（2）处切线的斜率为（e为自然对数的底数）（）求a的值；（）证明：f（x）e+2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，BAC的平分线交BC于点D，交ABC的外接圆于点E，延长AC交DCE的外接圆于点F，DF=（）求BD；（）若AEF=90，AD=3，求DE的长选修4-4：坐标系与参数方程23在平向直角坐标系中，直线l： （t为参数，0），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=4cos（I）求曲线C的直角坐标方程；（）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且=2，
7、求tan选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x21|（1）解不等式f（x）2+2x；（2）设a0，若关于x的不等式f（x）+5ax解集非空，求a的取值范围2016年河北省沧州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的交集和补集的定义即可求出【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，M=3
8、，4，5，UM=1，2，N=1，2，5，（UM）N=1，2， 故选：B2设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为=（）AB2CD1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【分析】给出z=1i，则，代入整理后直接求模【解答】解：由z=1i，则，所以=故选A3某地区有大型超市x个，中型超市y个，小型超市z个，x：y：z=1：5：9，为了掌握该地区超市的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则抽取的中型超市的个数为（）A2B5C10D18【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样原理，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，由此求出答案【解答】解：大型、中型与小型超市共抽30家，它
9、们的家数之比为1：5：9，所以用分层抽样进行调查，应抽取中型商店数为30=10，故选：C4焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设所求的双曲线方程是，由 焦点（0，6）在y 轴上，知 k0，故双曲线方程是，据 c2=36 求出 k值，即得所求的双曲线方程【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，焦点（0，6）在y 轴上，k0，所求的双曲线方程是，由k+（2k）=c2=36，k=12，故所求的双曲线方程是，故选 B5执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A0B2C4D0或4【考点】程序框图【分析】由已知中的程序
10、框图可知：该程序的功能是计算并输出x=的值，分类讨论求出对应的x的范围，综合讨论结果可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出x=的值，输出结果为2，或，解得x=4故选：C6已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和，则|MN|=（）A1BC2D【考点】球的体积和表面积【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用勾股定理即可求解出答案【解答】解：设两圆的圆心分别为M、N，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OMEN为矩形，圆M和圆N的面积分别为2和，圆M和圆N的半径分别为和1，于是OM=，ON=，MN=故选D7在等差数列an中
11、，a1=2016，其前n项和为Sn，若=3，则S2016=（）A2016B2015C2016D2015【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的求和公式可得：Sn=na1+d，可得=，代入=3，解得d再利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d由等差数列的求和公式可得：Sn=na1+d，可得=，=3，d=3，解得d=2则S2016=2016（2016）+=2016，故选：A8某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（）A4B6C8D9【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为底面边长分别为3，4的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于
12、底面，高为2【解答】解：由三视图可知该几何体为底面边长分别为3，4的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为2故其体积V=2=8故选：C9在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数为（）A162B163C164D165【考点】二项式定理的应用【分析】由题意可得展开式中含x2项的系数为C32+C42+C102，再利用二项式系数的性质化为C113C22，从而得到答案【解答】解：（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）10的展开式中含x2项的系数为C32+C42+C102=C113C22=164，故选：C10已知函数f（x）
13、=ex+a，g（x）=x24x+2，设函数h（x）=，若函数h（x）的最大值为2，则a=（）A0B1C2D3【考点】函数的最值及其几何意义【分析】画出函数的图象，利用数形结合的方法，利用平移，判断a的值【解答】l解：在同一坐标系内画出函数f（x）=ex，g（x）=x24x+2的图象如图：根据题意，h（x）取函数下方的图象，要使函数h（x）的最大值为2，故需把ex的图象上移一个单位即可，故a=1，故选B11抛物线y2=mx（m0）的焦点为F，抛物线的弦AB经过点F，并且以AB为直径的圆与直线x=3相切于点M（3，6），则线段AB的长为（）A12B16C18D24【考点】抛物线的简单性质【分析】确
14、定抛物线y2=12x，设直线的方程为y=k（x3），与抛物线方程y2=12x联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标，求出k，即可得出结论【解答】解：依题意可得直线x=3是抛物线的准线，故m=2p=12即抛物线方程为y2=12x又可得线段AB的中点纵坐标为6并且F（3，0）设直线AB的方程为y=k（x3），则，k=1从而求得|AB|=24故选：D12已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，函数y=f（x+1）1为奇函数，则函数f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简y=f（x+1）1=（x+1）3+a（x+1）2+b（x+1）+11=x3+（3+a
15、）x2+（3+2a+b）x+1+b+a，从而可得，从而化简出f（x）=x33x2+2x+1，求导f（x）=3x26x+2=3（x1）21=3（x1）（x1+）以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的个数【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx+1，y=f（x+1）1=（x+1）3+a（x+1）2+b（x+1）+11=x3+3x2+3x+1+ax2+2ax+a+bx+b=x3+（3+a）x2+（3+2a+b）x+1+b+a，函数y=f（x+1）1为奇函数，解得，a=3，b=2；故f（x）=x33x2+2x+1，f（x）=3x26x+2=3（x1）21=3（x1）（x1+），故f（x）在（，1）上
16、是增函数，在（1，1+）上是减函数，在（1+，+）上是增函数；且f（1）=1+14+2+2+10，f（1+）=1+1+42+2+10，函数f（x）的零点个数为1，故选B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量，满足|=1，|=， +=（，1），则cos，=0【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用已知条件求出，然后求解cos，【解答】解：向量，满足|=1，|=， +=（，1），可知=（0，1），=（，0），则cos，=0故答案为：014等比数列an中，an0，a3+2a2=a4，则数列an的公比为2【考点】等比数列的通项公式【分析】设等比数列an的公比为q0，由a3+
17、2a2=a4，可得=a3q，化简解出即可得出化为：q2q2=0，q0【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a3+2a2=a4，=a3q，化为：q2q2=0，q0解得q=2故答案为：215函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象如图所示，已知图象经过点A（0，1），B（，1），则f（x）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过函数的图象求出函数的周期，然后求出，利用函数的图象经过的特殊点求出，从而可求函数解析式【解答】解：图象经过点A（0，1），B（，1），A，B两个点的纵坐标相反，从点A到点B经过半个周期，=kT+=k+，kZ，（其中T为f（x）的周期），解得
18、：=6k+3，kZ，0，当k=0时，值为3，又图象经过点A（0，1），f（x）=2sin（x+），1=2sin，即sin=，由0，由函数的图象可得=，故答案为：16已知数列an中，a1=1，an+1=c+，1an4成立，则c的取值范围是0，3【考点】数列递推式【分析】方法一：当c=0时，an=1恒成立，条件满足当c0时，计算an+2an，利用数列的单调性即可得出方法二：a2=1+c1，4，得0c3（）当1c3时，可以验证a1，a21，4成立，并且若有an1，4，则显然成立（）当0c1时，可以验证a1，a21，4成立；并且若有an1，4，则（）显然成立（）再证明an+11即可得出【解答】解：方法
19、一：当c=0时，an=1恒成立，条件满足当c0时，a1=1，a2=c+11，数列an，的最小项是a1=1，最大项是a2=c+1，由a24，可得c3c的取值范围是0，3方法二：a2=1+c1，4，得0c3（）当1c3时，可以验证a1，a21，4成立，并且若有an1，4，则显然成立；（）当0c1时，可以验证a1，a21，4成立；并且若有an1，4，则（）显然成立（），而，所以an+11综上所述，当0c3时，恒有an1，4三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（xR）（）当x，时，求f（x）的最大值（）设A
20、BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，sinB=2sinA，求a【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）化简函数f（x）为正弦型函数，根据x，求出2x的范围，从而求出f（x）的最大值；（）根据f（C）=2求出C的值，再由正弦、余弦定理，即可求出a的值【解答】解：（）函数f（x）=sinxcosx+sin2x+=sin2x+=sin2xcos2x+1=sin（2x）+1（xR），当x，时，2x，令2x=，解得x=，此时sin（2x）=1，f（x）取得最大值f（x）max=2；（）f（C）=sin（2C）+1=2，0C，令，解得；又sinB=2si
21、nA，b=2a；由余弦定理得：c2=a2+b22abcos=3，几a2+b2ab=3，整理得5a22a3=0，解得a=1或a=（不合题意，舍去），a的值是118四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，AB=BC=2CD=2，AP=PB=3，PC=（）求证：直线PD平面ABCD；（） E是棱PB的中点，求直线PA与平面AEC所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（）取棱AB的中点G，连接DG，PG，证明：DC平面PDG，于是DCPD，证明PD2+DG2=PG2，于是PDDG，利用线面垂直的判定定理，即可证明直线PD平面ABCD；（） DG，DC，DP两两垂直，以
22、它们所在的直线作为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，即可求直线PA与平面AEC所成的角的正弦值【解答】（）证明：如图，取棱AB的中点G，连接DG，PG则DCGB，DC=GB，所以四边形BCDG是平行四边形又ABBC，所以四边形BCDG是矩形所以ABDG由PA=PB=3，得PGAB因为PGDG=G，PG平面PDG，DG平面PDG，所以AB平面PDG，即得DC平面PDG于是DCPD，PD2+DC2=PC2，其中DC=1，所以PD=2又DG=BC=2，所以PD2+DG2=PG2，于是PDDG又DGDC=D，DG平面ABCD，CD平面ABCD所以PD平面ABCD（）解：由上可知D
23、G，DC，DP两两垂直，以它们所在的直线作为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），则P（0，0，2），A（2，1，0），C（0，1，0），设向量平面AEC，并且=（x0，y0，z0）则取x0=2，则=（2，2，1），而设直线PA与平面AEC所成的角为，则sin=19一袋子中有10个大小相同标有数字的小球，其中4个小球标有数字1，3个小球标有数字2，2个小球标有数字3，1个小球标有数字4从袋子中任取3个小球（）求所取的3个小球中所标有数字恰有两个相同的概率；（）X表示所取的3个小球所标数字的最大值，求X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）
24、利用古典概型的概率公式求解即可；（）X的可能取值为1，2，3，4，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可【解答】解：（）所取的三个小球中，所标数字恰有两个相同的概率为（）X的可能取值为1，2，3，4；X1234P20如图，已知P是以F1（1，0）为圆心，以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M（）求点M的轨迹C的方程；（）已知点E坐标为（4，0），并且倾斜角为锐角的直线l经过点F2（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，（）求证：AEF2=BEF2；（）若cosAEB=，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程【分析】（）设M（x，y），
25、M在线段PF2的垂直平分线上，|MP|=|MF2|，可得|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|M的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程，由题意可求得a、b的值，求得椭圆方程；（）（）设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x1+x2及x1x2，分别求得kAE及kBE，由kAE+kBE=0，即可求得AEF2=BEF2；（）由cosAEB=，求得tanAEB，由，【解答】解：（）设M（x，y），则因为M在线段PF2的垂直平分线上，所以|MP|=|MF2|，所以|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|即M的
26、轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其长半轴为a=2，半焦距为c=1，所以短半轴所以C的方程是（）（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x1），则，则，所以，=即AEF2=BEF2（）因为，所以，不妨设点A在第一象限，则，所以，；即，所以x1，x2是方程，即方程7x28x8=0的两个根，所以，所以，k2=1又倾斜角为锐角，所以k0，所以直线AB的方程为y=x121已知函数f（x）=+x，曲线y=f（x）在（2，f（2）处切线的斜率为（e为自然对数的底数）（）求a的值；（）证明：f（x）e+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求导数，利用曲线y=f（
27、x）在（2，f（2）处切线的斜率为，解出即可；（）令函数，设函数，令，证明【解答】（）解：因为，所以，则，得a=8（）证明：，x（0，+），设函数，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）为减函数，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）为增函数，则g（x）g（1）=e设函数，令，则在x（0，+）为减函数，又因为（2）=0，则当x（0，2）时，（x）0，即h（x）0，h（x）为增函数，则当x（2，+）时，（x）0，即h（x）0，h（x）为减函数，所以h（x）h（2）=2，综上所述，请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC
28、中，BAC的平分线交BC于点D，交ABC的外接圆于点E，延长AC交DCE的外接圆于点F，DF=（）求BD；（）若AEF=90，AD=3，求DE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等，运用全等三角形的判定，可得ABDAFD，即可得到BD=DF；（2）运用对应角相等，证得DEFFEA，可得EF2=EDEA，设DE=x，求得EA，再由直角三角形DEF，运用勾股定理，解方程可得DE【解答】解：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，ABD=AEC，DEC=DFC，即有ABD=AFD，又BAC的平分线交BC于点D，可得BAD=FAD，且AD=AD，可得ABDAFD，则D
29、B=DF=；（2）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，DFE=DCE，DCE=BAE=EAC，DFE=EAF，又DEF公用，DEFFEA，=，EF2=EDEA设DE=x，由AD=3，可得EA=3+x，可得EF2=x（3+x），在直角三角形DEF中，可得DE2+EF2=DF2，即有x2+x（3+x）=14，解得x=2（负的舍去）则DE的长为2选修4-4：坐标系与参数方程23在平向直角坐标系中，直线l： （t为参数，0），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=4cos（I）求曲线C的直角坐标方程；（）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且=2，求tan【考点】简单曲线
30、的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C：=4cos，把2=x2+y2，x=cos代入即可化为直角坐标方程（II）把直线l： （t为参数，0）代入曲线C的直角坐标方程可得：t2+2tsin3=0，由=2，可得t1=2t2再利用根与系数的关系及其三角函数基本关系式即可得出【解答】解：（I）曲线C：=4cos，即2=4cos，可得：x2+y2=4x（II）把直线l： （t为参数，0）代入曲线C的直角坐标方程可得：t2+2tsin3=0，t1+t2=2sin，t1t2=3=2，t1=2t2联立可得：sin2=，解得tan2=0，tan=选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2
31、1|（1）解不等式f（x）2+2x；（2）设a0，若关于x的不等式f（x）+5ax解集非空，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）通过讨论x的范围，解不等式即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，结合二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）2+2x，|x21|2+2x，x1或x1时，x212+2x，解得：1x3，x=1，1x1时，1x22+2x，成立，综上，1x3；（2）x1或x1时，f（x）+5ax，即x21+5ax，即x2ax+40，令h（x）=x2ax+4，若不等式f（x）+5ax解集非空，则=a2160，解得：a4或a4，1x1时，f（x）+5ax，即1x2+5ax，即x2+ax60在1，1有解，令g（x）=x2+ax6，若不等式f（x）+5ax解集非空，则f（1）0即可，解得：a5，综上，a4或a42016年9月14日
