1、北京市朝阳区2019-2020学年高二数学下学期期末考试质量检测试题（含解析）（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10题，每题5分，共50分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若随机变量X的分布列为X012P则X的数学期望是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由数学期望的计算公式直接求解即可【详解】解：由题意得，故选：C【点睛】此题考查由离散型随机变量的分布列求数学期望，属于基础题2. 某物体作直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式，那么该物体在s时的瞬时速度是（ ）A. 2m/sB. 4m/s
2、C. 7m/sD. 12m/s【答案】D【解析】【分析】对求导，将代入导函数，可求出答案.【详解】对求导，得，当时，（m/s），所以物体在s时的瞬时速度是12m/s.故选：D.【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题3. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.【详解】，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.4. 的二项展开式中的常数项为（ ）A. 1B
3、. 6C. 15D. 20【答案】D【解析】【分析】化简得到展开式的通项为，令，即可求得展开式的常数项.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，令，可得展开式的常数项为.故选：D【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.5. 从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（ ）A. 12B. 18C. 35D. 36【答案】B【解析】【分析】根据题意分2步进行分析：先从3名男生中选出2人，再从4名女生中选出2人，利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】先从3名男生中选出2人有种，再从4名女生中选出2人
4、有种，所以共有种，故选：B【点睛】本题主要考查了分布乘法计算原理，考查了组合数的计算，属于基础题.6. 某射手每次射击击中目标的概率都是，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用次独立重复实验恰好发生次的概率公式计算，即可求解.【详解】这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，所以概率为：，故选：D【点睛】本题主要考查了独立重复事件的概率公式，属于基础题.7. 曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求
5、得曲线上的任意一点的斜率的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.8. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）A. 6B. 14C. 49D. 84【答案】C【解析】【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理即可求解.【详解】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有条；子模块4或子模块5中的子路径共有条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径共有条，故选
6、：C【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.9. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】采用排除法进行排除，根据可知图象经过原点，以及导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间即可求解.【详解】根据，排除C，因为，由得或，可知在和单调递增，在单调递减，排除BD故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及由函数解析式选择函数的图象，属于常考题型.10. 已知函数，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用，把问题转化为与在有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】，
7、所以，即与在有交点，分情况讨论：直线过点，即，得；直线与相切，设切点为，得，切点为，故实数a的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6题，每题5分，共30分11. 已知函数的导函数为，则_.【答案】【解析】【分析】先对函数求导，然后代入可求得答案【详解】解：由，得，所以，故答案为：0【点睛】此题考查基本函数的导数的求法，属于基础题12. 若随机变量，则X的数学期望是_.【答案】【解析】【分析】根据，利用数学期望的公式求解即可【详解】随机变量，故答案为：【点睛】本题考查求解数学期望问题，属于基础题13
8、. 从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从成绩在，两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，成绩在的学生共有人，成绩在的学生共有人，则成绩在的学生抽取4人，成绩在的学生抽取2人，再利用组合数即可得解.【详解】成绩在的学生共有人，成绩在的学生共有人，若用分层抽样的方法选取了6人，则成绩在的学生抽取4人，成绩在的学生抽取2人，则这两人来自同一组的概率.故答案：【点睛】本题考查了频率分布直方图和分层抽样，考查了利
9、用组合数求概率，计算量不大，属于基础题.14. 在的二项展开式中，二项式系数之和为_；所有项的系数之和为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和，【详解】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和为，故答案为：，【点睛】本题主要考查了二项式展开式的性质，考查了二项式系数之和、所有项的系数之和，属于基础题.15. 某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响.那么两次抽奖中至少有一次中奖的概
10、率是_.【答案】【解析】【分析】两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出两次抽奖中至少有一次中奖的概率【详解】解：购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响.因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖，所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为，故答案为：【点睛】此题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等知识，考查运算能力，属于基础题16. 设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点
11、分别为，.给出下列四个命题：函数的单调递增区间是，；函数的单调递增区间是，；是函数的极小值点；是函数的极小值点.其中，正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据函数和图象可得的单调区间和单调性，从而得到答案.【详解】由函数和图象可得，当时，得，所以函数单调递增，当时，得，所以函数单调递减，当时，得，所以函数单调递减，当时，得，所以函数单调递增，所以错误；正确；是函数的极大值点，错误；正确.故答案为：.【点睛】本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题.三、解答题共4题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人
12、数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.年份20142015201620172018新生婴儿性别比1108108.0106.4105.4104.8（1）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率（精确到0.01）；（2）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求X的分布列和数学期望；（3）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望；（3）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由
13、样本数据可知2015年随机选取1人为女婴的概率为；（2）2014年到2018年中，性别比高于107的有2年，可知的可能取值为，所以按照超几何分布求概率；（3）这是一个开放性的试题，可以从样本数据多少对实验真实性的影响说明，或是性别比的大小判断.【详解】解：（1）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件，则.（2）的可能取值为.，所以的分布列为所以的数学期望.（3）答案一：可以否定.从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.答案二：不能否定.尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查
14、本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.答案三：无法判断.由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.（注：1.其余答案，酌情给分.2.如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体.）【点睛】本题考查超几何分布，数据分析，开放式的统计分析，重点考查读懂题意，抽象概括能力，属于中档题型.18. 已知函数，.（1）若，求证：当时，恒成立；（2）
15、当时，求在区间上的最大值和最小值；（3）若函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为，最小值为；（3）.【解析】【分析】（1）由得，设，对其求导，根据导数的方法求出其在上的最小值，即可证明结论成立；（2）由得，对其求导，判定其在给定区间的单调性，进而可得出最值；（3）对函数求导，得到，分别讨论和两种情况，结合导数的方法判定函数的单调性，得出极值，根据题中条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）证明：当时，.设，则.因为，所以.所以在上单调递增，所以.所以当时，恒成立.（2）当时，.所以.令得或.当在上变化时，的变化情
16、况如下表：0200极大值极小值所以，当时，函数的最大值为，函数的最小值为；（3）因为，所以.令得或.依题意，函数存在极大值和极小值，所以.（）当时，.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的极大值为，极小值为.依题意有，所以.所以.（）当时，.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的极大值为，极小值为.依题意有，所以.所以.综上所述，.【点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立问题，考查由导数的方法求函数的最值，考查由极值求参数的问题，属于常考题型.19. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若在时取得极值，设，当时，试比
17、较与大小，并说明理由.【答案】（1）；（2）当时，有极小值，无极大值；当时，无极值；（3）；答案见解析.【解析】【分析】（1）先求出，再对函数求导可求出切线的斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与极值关系即可求解；（3）结合题意作差，变形得，构造函数，转化为求解函数的最小值，利用导数求解即可【详解】解：（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由，得.若，当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.所以，当时，有极小值，无极大值；若，当时，恒成立，所以在上单调递减，所以无极值.若，当时，恒成立，所以在上单调递减，所以无极值.综上，当时，有极小值，无极大值
18、；当时，无极值.（3）由，所以.由，所以.又，所以.构造函数，则.当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，即，所以成立，所以，即.【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题20. 已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；（2）若集合S具有性质，求证：；.【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质；（2）证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义，任意，都有，对集合A和B进行计算即可；（2）不妨设，（i）由得，所以，再结合新定义即可得解，（ii）由（i）可知，对任意，都有，所以，所以，因为对任意，所以，所以，即，再利用反证法即可得解.【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质.（2）证明：不妨设.（i）由得.对任意，有，因为，所以.所以对任意，都有，所以.又因为，所以.（ii）由（i）可知，对任意，都有，所以，所以.因为对任意，所以，所以，即，.若，则当时，矛盾.所以.又因为是正整数，所以.【点睛】本题考查了关于集合的新定义，考查了对新定义的理解和运算，考查了放缩法和反正法等数学方法，要求较高的计算能力和思维推理能力，属于较难题.
