1、2017年陕西省延安市黄陵中学高新部高考考前模拟数学试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1已知复数z=1+ai（aR）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=（）A2B2CD2设，是两个非零向量，下列四个条件中，使= 成立的充分条件是（）A|=|且B =CD =232000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50，60）的汽车大约有（）A30辆B60辆C300辆D600辆4已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A7B5C5D75已知函数f（x）=sin（2x+）（xR），为了得到函数g（x
2、）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位6已知平面向量，且，则=（）A4B6C10D107某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A1BCD8函数f（x）=在点（x0，f（x0）处的切线平行于x轴，则f（x0）等于（）ABCDe29已知离心率为e的双曲线，其与椭圆的焦点重合，则e的值为（）ABCD10两圆x2+y2+2ax+a24=0和x2+y24by1+4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D311已知l、m表示直线，、表示平面，下列条件中能推出结论正确的选项是（）条件：
3、l，；，；l，；lm，l，m结论：a：l；b：；c：l；d：Ac、d、a、bBa、d、c、bCb、d、a、cDc、b、a、d12a，b，c依次表示方程2x+x=1，2x+x=2，3x+x=2的根，则a，b，c的大小顺序为（）AacbBabcCabcDbac二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为 14直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 15函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则= 16在区间1，1上任取两数a、b，
4、则使关于x的二次方程有实数根的概率为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，（）证明B=C：（）若cosA=，求sin的值18有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B班5名学生得分为：6、7、8、9、10（1）请你判断A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；（2）求如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平
5、均数之差的绝对值不小于1的概率19如下图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M为AB中点，连结AC现将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图（2）所示（1）求证：BC平面ACD； （2）求几何体DABC的体积20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为B的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且lMN，点P为直线l上的任意一点，求的最小值21已知函数f（x）=x3ax，g（x）=x2lnx（1）若f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；（2）对于一
6、切x（0，+），有不等式f（x）2xg（x）x2+5x3恒成立，求实数a的取值范围；（3）设G（x）=x2g（x），求证：G（x）选修4-4：坐标系与参数方程22（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m2|x11|，若2f（x）g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t（1）求实数t（
7、2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a0），且x+y+z的最大值是，求a的值2017年陕西省延安市黄陵中学高新部高考考前模拟数学试卷（文科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1已知复数z=1+ai（aR）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=（）A2B2CD【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】依题意，由（1+ai）（1ai）=1+a2=5可得a=2，而1+ai在第四象限，从而可得答案【解答】解：z=1+ai（aR）在复平面上表示的点在第四象限，a0，又z=（1+ai）（1ai）=1+a2=5，a=2，而
8、a0，a=2，故选B2设，是两个非零向量，下列四个条件中，使= 成立的充分条件是（）A|=|且B =CD =2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可【解答】解：A若|=|且，则，两个向量为相等向量或相反向量，当=时， = 不成立，所以A不是充分条件B当=时， = 不成立，所以B不是充分条件C当，且，两个向量方向相反时， = 不成立，所以C不是充分条件D当=2时，满足，同向共线，满足=，所以D是充分条件故选D32000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50，60）的汽车大约有（）A30辆B60辆C300
9、辆D600辆【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图【分析】根据频率分步直方图可以看出在50，60）之间的小长方形的长和宽，做出对应的频率，用频率乘以样本容量得到结果【解答】解：有频率分步直方图可以看出在50，60）之间的频率是0.0310=0.3，时速在50，60）的汽车大约有20000.3=600故选D4已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A7B5C5D7【考点】8G：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解
10、答】解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8a4=4，a7=2或a4=2，a7=4当a4=4，a7=2时，a1=8，a10=1，a1+a10=7当a4=2，a7=4时，q3=2，则a10=8，a1=1a1+a10=7综上可得，a1+a10=7故选D5已知函数f（x）=sin（2x+）（xR），为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式把函数f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（2x）=cos（2x），
11、得到要得到函数g（x）的图象，只要把函数g（x）平移为f（x），转化即可【解答】解：f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（2x）=cos（2x），平移函数g（x）=cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位故选：A6已知平面向量，且，则=（）A4B6C10D10【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】先根据向量的共线求出m的值，再根据向量的数量积求出即可【解答】解：平面向量，且，1（4）=2m，解得m=2，则=1（2）+2（4）=10，故选：C7某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
12、的S的值为（）A1BCD【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行过程，对运行过程中变量S的值的变化情况进行分析，找出各项之间的规律，不难给出答案【解答】解：依题意得，运行程序后输出的是数列an的第2013项，其中数列an满足：a1=1，an+1=注意到a2=，a3=，a5=1，该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2013=4503+1，因此a2013=a1=1，运行程序后输出的S的值为1故答案为：A8函数f（x）=在点（x0，f（x0）处的切线平行于x轴，则f（x0）等于（）ABCDe2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【
13、分析】求出原函数的导函数，再由f（x0）=0求得x0，则f（x0）可求【解答】解：由f（x）=，得，由=0，得x0=ef（x0）=故选：B9已知离心率为e的双曲线，其与椭圆的焦点重合，则e的值为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的性质可得a2+7=16，解可得a的值，由双曲线离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦点坐标为（4，0）；双曲线的焦点坐标也为（4，0），即c=4则有a2+7=16，解可得a=3，则双曲线的离心率e=；故选：C10两圆x2+y2+2ax+a24=0和x2+
14、y24by1+4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D3【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，=+=+，使用基本不等式求得的最小值【解答】解：由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y2b）2=1，圆心分别为（a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有=3，a2+4b2=9，=1， =+=+ +2=1，当且仅当= 时，等号成立，故选 C11已知l、m表示直线，、表示平面，下列条件中能推出结论正确的
15、选项是（）条件：l，；，；l，；lm，l，m结论：a：l；b：；c：l；d：Ac、d、a、bBa、d、c、bCb、d、a、cDc、b、a、d【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据线面位置关系的判断和性质进行判断【解答】解：对于，若l，则l与无公共点，故l，故c；对于，若，则，故d；对于，若l，则l，故a；对于，设，的法向量分别为，l，m的方向向量为，l，m，lm，故b故选A12a，b，c依次表示方程2x+x=1，2x+x=2，3x+x=2的根，则a，b，c的大小顺序为（）AacbBabcCabcDbac【考点】49：指数函数的图象与性质【分析】观察可得，x=0是2x+x=1的
16、根对于后两个方程，根的大小分别可以看成函数y=2x和函数y=2x的交点横坐标及y=3x和函数y=2x的交点横坐标再数形结合解之【解答】解：不难看出，对于2x+x=1，x=0对于2x+x=2的根，可以看作y=2x和y=2x的交点横坐标的大小同理，3x+x=2的根可以看作是y=3x和y=2x的交点横坐标的大小由图形可得，acb故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为7【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，
17、平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+23=1+6=7，故答案为：714直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45，由此求得a2+b2的值【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，=cos45=，a2+b2=2，故答案为：215函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=
18、sin（2x+）的图象重合，则=【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos2（x）+的图象，即y=cos（2x+）的图象结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出的值【解答】解：函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos2（x）+=cos（2x+），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+）（）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+=，解得：=符合故答案为16在区间1，1
19、上任取两数a、b，则使关于x的二次方程有实数根的概率为【考点】CF：几何概型【分析】根据二次方程根的个数与的关系，我们易得到关于x的二次方程x2+2 x+1=0的两根都是实数a2+b21，分别求出在区间1，1上任取两数a、b，对应的平面区域面积，和满足a2+b21对应的平面区域面积，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案【解答】解：若关于x的二次方程x2+2x+1=0的两根都是实数，则=4（a2+b2）40，即a2+b21，在区间1，1上任取两数a、b对应的平面区域如下图中矩形面积所示，其中满足条件a2+b21的点如下图中阴影部分所示，S矩形=22=4，S阴影=4故在区间1，1上任取两数a、b
20、，则使关于x的二次方程x2+2x+1=0的两根都是实数的概率P=1，故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，（）证明B=C：（）若cosA=，求sin的值【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出sin（BC）=0再由B，C的范围可判断B=C得证（2）先根据（1）确定A，与B的关系，再由诱导公式可求出cos2B的值，然后由基本关系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案【解答】（）证明：
21、在ABC中，由正弦定理及已知得=于是sinBcosCcosBsinC=0，即sin（BC）=0因为BC，从而BC=0所以B=C；（）解：由A+B+C=和（）得A=2B，故cos2B=cos（2B）=cosA=又02B，于是sin2B=从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=所以18有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B班5名学生得分为：6、7、8、9、10（1）请你判断A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；
22、（2）求如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差【分析】（1）分别求出A、B两个班问卷得分的平均数和平均分，由此能求出B班的问卷得分要稳定（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件M，利用列举法能求出样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率【解答】解：（1）B班的问卷得分要稳定一些，理由如下：，=，B班的问卷得分要稳定（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件M所有的基本事件分别为
23、：（6，7）、（6，8）、（6，9）、（6，10）、（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，9）、（8，10）、（9，10），共10个事件M包含的基本事件分别为：（6，7）、（6，8）、（8，10）、（9，10），共4个由于事件M符合古典概型，则19如下图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M为AB中点，连结AC现将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图（2）所示（1）求证：BC平面ACD； （2）求几何体DABC的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）由已知求出AC，BC的长，利用勾股定理可得AC
24、BC，再由面面垂直的性质可得BC平面ACD； （2）由（1）知BC平面ACD，然后利用等积法即可求得几何体DABC的体积【解答】证明：（1）由图（1）可知，AB=4，AC2+BC2=AB2，则ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，BC平面ACD；解：（2）由（1）可知，BC平面ACD，则BC即为几何体BACD的高，20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为B的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且lMN，点P为直线l上的任意一点，求的最小值【考点】K8：抛物线的简单性
25、质【分析】（1）由题意可知：求得MN的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，由=0，解得b的值，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质，即可求得的最小值【解答】解：（1）C：y2=2px（p0）的焦点坐标为，直线MN的方程为，设M（x1，y1）、N（x2，y2）由，可得，由于x1+x2=3p、，所以|MN|=x1+x2+p=4p=8，解得p=2所以，抛物线的方程为y2=4x（2）设直线l方程为y=x+b，由，可得，x2+（2b4）x+b2=0. =由于l为抛物线C的切线，所以=（2b4）24b2=0，解得b=1，
26、故l：y=x+1设P（m，m+1），由（1）可知，直线MN：y=x1，x1+x2=6，x1x2=1，（y1y2）2=16x1x2，则y1y2=4，y1+y2=4，则=（x1m，y1（m+1），=（x2m，y2（m+1），则=（x1m）（x2m）+y1（m+1）y2（m+1），=x1x2m（x1+x2）+m2+y1y2（m+1）（y1+y2）+（m+1）2，=16m+m244（m+1）+（m+1）2，=2（m24m3）=2（m2）2714，所以，当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，的最小值为14的最小值1421已知函数f（x）=x3ax，g（x）=x2lnx（1）若f（x）和g（x）在
27、同一点处有相同的极值，求实数a的值；（2）对于一切x（0，+），有不等式f（x）2xg（x）x2+5x3恒成立，求实数a的取值范围；（3）设G（x）=x2g（x），求证：G（x）【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的极小值，然后列出方程求解a 即可（2）使对于一切x（0，+），不等式f（x）2xg（x）x2+5x3恒成立，转化为恒成立，只需，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，推出a的范围即可（3）若证，则只需证明，即证，构造函数设m（x）=xlnx，利用函数的单调性求解
28、函数的极值，推出结果即可【解答】解：（1）g（x）=x=，当x（0，1）时，g（x）0，则g（x）单调递减；当x（1，+）时，g（x）0，则g（x）单调递增g（x）极小值=g（1）=2又f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，f（1）=1a=2，即a=3（2）若使对于一切x（0，+），不等式f（x）2xg（x）x2+5x3恒成立，则只需使得不等式恒成立，即只需设，则，当x（0，1）时，t（x）0，则t（x）单调递减；当x（1，+）时，t（x）0，则t（x）单调递增t（x）最小值=t（1）=4，a4，即a的取值范围为（，4（3）若证，则只需证明，即证设m（x）=xlnx，则m（x）=lnx+1
29、，由于m（x）在单调递减，在单调递增，所以；设，则，由于n（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，所以所以m（x）n（x）又由于m（x）与n（x）不在同一个变量时取得最值，即m（x）n（x）综上所述，选修4-4：坐标系与参数方程22（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）先消去参数方程中的参
30、数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标【解答】解：（1）曲线C的参数方程为为参数）消去参数得它的普通方程为：，将其化成极坐标方程为：，分别代入和得|OA|2=|OB|2=，因AOB=，故AOB的面积S=|OA|OB|=（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t2）2=0，t=2，代入l的参数方程，得x=2，y=，曲线C与直线l的交点坐标为（2，）选修4-5：不
31、等式选讲23已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m2|x11|，若2f（x）g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t（1）求实数t（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a0），且x+y+z的最大值是，求a的值【考点】RK：柯西不等式在函数极值中的应用【分析】（1）若2f（x）g（x+4）恒成立，可得m2（|x+3|+|x7|），而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x7|）20，可得m20，由此求得m的最大值t（2）由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）（）（x+y+z）2，即a1（x+y+z）2，即x+y+z，再根据 x+y+z的最大值是=1，可得=1，从而求得a的值【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m2|x+411|=m2|x7|，若2f（x）g（x+4）恒成立，2|x+3|m2|x7|，即 m2（|x+3|+|x7|）而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x7|）2|（x+3）（x7）|=20，m20，故m的最大值t=20（2）实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a0），由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）（）（x+y+z）2，a1（x+y+z）2，x+y+z再根据 x+y+z的最大值是=1， =1，a=12017年6月21日
