1、广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集是实数集R，M=x|x1，N=1，2，3，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，42（5分）函数y=sinxcosx是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数3（5分）如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则（）A命题“p或q”是假命题B命题“p或q”是假命题C命题“p且q”是真命题D命题“p且q”是真命题来源:学#
2、科#网4（5分）用二分法求方程lgx=3x的近似解，可以取的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A（x1）2+y2=1B（x+1）2+y2=1Cx2+（y1）2=1Dx2+（y+1）2=16（5分）如图，四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）ABCD7（5分）“a=2”是“函数f（x）=ax2x有零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）设a，b为两条直线，为两个
3、平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab9（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）0f（a）f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：da；db；dc；dc其中可能成立的个数为（）A1B2C3D410（5分）曲线y=x3+2x在横坐标为1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）ABCD11（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A0x+y1Bx+y1Cx+y1D1x+y012（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲
4、线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y=0B3x5y=0C4x3y=0D5x4y=0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）等差数列an中，已知a4+a5=8，则S8=14（5分）曲线y=33x2与x轴所围成的图形面积为15（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是16（5分）定义函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x，x2，4，则函数f（x）=x在2，4上的几何平均数为三、解答题：
5、本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工（）求每个报名者能被聘用的概率；（）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数126951请你预测面试的切线分数大约是多少？（）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f
6、（x）的解析式；（）若，求cos的值19（12分）如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：平面PAC平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值20（12分）设函数f（x）=（x0），数列an满足a1=1，（nN*，且n2）来源:学。科。网（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n1anan+1，若T2n4tn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围21（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足
7、=1，若直线l：y=x+m（m（0，a且aR）与椭圆交于A，B两点，（1）求点P的坐标；（2）若PAB的面积的最大值为，求实数a的值22（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集是实数集R，M=x|x1，N=1，2，3
8、，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：根据全集R以及M求出M的补集，找出M补集与N的交集即可解答：解：全集是实数集R，M=x|x1，RM=x|x1，N=1，2，3，4，（RM）N=2，3，4故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）函数y=sinxcosx是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法 专题：函数的性质及应用分析：y=sinxcosx=sin2x，由周期公式及图象
9、对称性可得结论解答：解：y=sinxcosx=sin2x，周期为T=，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选A点评：本题考查二倍角的正弦公式、三角函数的周期性，属基础题3（5分）如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则（）来源:学+科+网Z+X+X+KA命题“p或q”是假命题B命题“p或q”是假命题C命题“p且q”是真命题D命题“p且q”是真命题考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：因为命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个是假命题，因为“q”也是假命题，所以q是真命题，根据此信息进行判断；解答：解：命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个为假命题，因为“q”也是假命
10、题，可得q是真命题，可得p是假命题，A、命题“p是真命题，可得命题“p或q”是真命题，故A错误；B、因为q是真命题，故命题“p或q”是真命题，故B错误；C、p是假命题，q为真命题，命题“p且q”是真命题，故C正确；D、p是假命题，命题“p且q”是假命题，故D错误；故选C；点评：本题主要考查了非P命题与p或q命题的真假的应用，注意“或”“且”“非”的含义，是一道基础题；4（5分）用二分法求方程lgx=3x的近似解，可以取的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点：二分法求方程的近似解 专题：函数的性质及应用分析：设f（x）=lgx3+x，当连续函数f（x）满足f（a）f
11、（b）0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3x在区间（a，b）上有解，进而得到答案解答：解：设f（x）=lgx3+x，当连续函数f（x）满足f（a）f（b）0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3x在区间（a，b）上有解，又f（2）=lg210，f（3）=lg30，故f（2）f（3）0，故方程lgx=3x在区间（2，3）上有解，故选：C点评：本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键5（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A（x1）2+y2=1B（x+1）2+y2=1Cx2+（y1）2=1D
12、x2+（y+1）2=1考点：抛物线的简单性质；圆的标准方程 专题：计算题分析：先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可解答：解；抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），所求圆的圆心坐标为（1，0）所求圆过坐标原点（0，0）其半径为10=1所求圆的标准方程为（x1）2+y2=1点评：本题主要考查了圆的标准方程的求法，抛物线的标准方程及其几何性质，属基础题6（5分）如图，四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）ABCD考点：简单
13、空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，我们根据棱锥的正视图为三角形，结合看不到的棱画为虚线，看到的棱画为实线，比照四个答案中的图形，即可得到答案解答：解：由已知中的几何体PABCD为四棱锥故其正视图的外边框为三角形又四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，PD棱在正视图中看不到，故应该画为虚线，PB棱在正视图中可能看到，故应该画为实线故选B点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中要注意三视图中看不到的棱（或轮廓线）画为虚线，本题易忽略此点7（5分）“a=2”是“函数f（x）=ax2x有零点”的（）A充分不必要条件B必要
14、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题分析：当a=2时，f（x）=2x2x，x=1，x=2是函数f（x）=2x2x的零点；当f（x）=ax2x有零点时，a=2不一定成立，例如a=1，从而可判断解答：解：当a=2时，f（x）=2x2x，x=1，x=2是函数f（x）=2x2x的零点当f（x）=ax2x有零点时，a=2不一定成立，例如a=1故a=2”是“函数f（x）=ax2x有零点”的充分不必要条件故选A点评：本题主要考查了必要条件，充分条件，充要条件的判定，属常考题型，解题的策略是先看前者能不能推出后者再看后者能不能推出后者然后再利用充分性
15、、必要性的定义得出结论8（5分）设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证D、由a，可得到a或a，再由b得到结论解答：解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b
16、，但得不到ab，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面AC为，满足选项C的条件却得不到，不正确；D、a，a或a又bab故选D点评：本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题9（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）0f（a）f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：da；db；dc；dc其中可能成立的个数为（）A1B2C3D4考点：函数零点的判定定理 专题：数形结合分析：利用零点就是两函数图象的交点，再利用图象得结论解答：解：因为函数在（0，+）上是减函数，又因为f（c）0f（a）f（b），所以abc
17、，又因为零点就是两函数图象的交点，在同一坐标系内画出函数y=与y=lnx的图象，如图a、b、c，d的位置如图所示只有成立故可能成立的有两个故选B点评：本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具10（5分）曲线y=x3+2x在横坐标为1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）ABCD考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：不等式的解法及应用分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到
18、结论解答：解：函数的f（x）的导数f（x）=3x2+2，则f（1）=3+2=1，即切线斜率k=1，当x=1时，y=12=1，即切点坐标为（1，1），则切线方程为y+1=（x+1），即x+y+2=0，则点（3，2）到L的距离d=，故选：A点评：本题主要考查导数的几何意义的应用以及点到直线的距离的计算，根据导数求出函数的切线方程是解决本题的关键11（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A0x+y1Bx+y1Cx+y1D1x+y0考点：向量的加法及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：如图所示由 =，可得 x0 y0，故 x+y0，故排除A、B
19、再由 =x2+y2+2xy，得1=x2+y2+2xycosAOB 当AOB=120时，由（x+y）2=1+3xy1，可得x+y1，从而得出结论解答：解：如图所示：=，x0，y0，故 x+y0，故排除A、B|OC|=|OB|=|OA|，=x2+y2+2xy，1=x2+y2+2xycosAOB 当AOB=120时，x2+y2xy=1，即（x+y）23xy=1，即（x+y）2=1+3xy1，故 x+y1，故选C点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题12（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点
20、若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y=0B3x5y=0C4x3y=0D5x4y=0考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得=双曲线渐近线方程为
21、y=x，即4x3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）等差数列an中，已知a4+a5=8，则S8=32考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质和求和公式可得S8=4（a4+a5），代值计算可得解答：解：等差数列an中a4+a5=8，S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=32故答案为：32点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题14（5分）曲线y=33x2与x轴所围成的图形面积为4考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题分
22、析：先求曲线y=33x2与x轴的交点分别为（1，0），（1，0），得到积分的上下限，然后利用定积分表示出所围成图形的面积，最后根据定积分的定义解之即可解答：解：令33x2=0解得x=1曲线y=33x2与x轴的交点分别为（1，0），（1，0），所以故答案为：4点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，积分的上下限的确定是解题的关键，被积函数的“还原”是难点，属于基础题15（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是0，考点：简单线性规划 专题：综合题分析：不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（1，0），的几何意义是点（x，y）
23、与（P2，0）连线的斜率，由此可求结论解答：解：不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（1，0）的几何意义是点（x，y）与（P2，0）连线的斜率，由于PB的斜率为，PA，PC的斜率为0所以的取值范围是0，故答案为：0，点评：本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义16（5分）定义函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x，x2，4，则函数f（x）=x在2，4上的几何平均数为2考点：函数与方程的综合运用 专题：
24、函数的性质及应用分析：根据已知中对于函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x，D=2，4，代入即可得到答案解答：解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合f（x）=x在区间2，4单调递增，则x1=2时，存在唯一的x2=4与之对应，故C=2 故答案为：点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键三、
25、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工（）求每个报名者能被聘用的概率；（）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数126951请你预测面试的切线分数大约是多少？（）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？考点：等可能事件的概率 专题：常规题型分析：（）利用古典概型求概率是解决本题的关键，根
26、据每个人入选的概率相等可以计算出所求的概率；来源:学*科*网Z*X*X*K（）利用概率是样本频率的近似值，通过对应成比例得出被聘用的最低分数线；（）利用古典概型求概率是解决本题的关键，可以列举出样本空间的所有情况和所求事件的所有情况，通过算起比值得到所求的概率解答：解：（）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：P=0.02答：每个报名者能被聘用的概率为0.02（）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：，解得：x=6，从表中可知面试的切线分数大约为80分答：可以预测面试的切线分数大约为80分（）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（
27、a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种选派一男一女参加某项培训的种数有：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8种所以选派结果为一男一女的概率为答：选派结果为一男一女的概率为点评：本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识弄清频率和概率的关系，把握古典概型计算概率的基本方法，必要时利用枚举法计算概率18（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）若，求co
28、s的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：作图题；综合题分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=，结合周期公式T=可求；由函数的图象过（）代入可得（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0a，可得cos（+）=，利用，代入两角差的余弦公式可求解答：解：（）由图象知A=1f（x）的最小正周期T=4（）=，故=2将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+）=1，又|，=故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）（）f（）=，即sin（）
29、=，注意到0a，则，所以cos（+）=来源:Zxxk.Com又cos=（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解；（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：2=（+）+（）2=（+）（）=（+）=（+）19（12分）如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（
30、1）求证：平面PAC平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值来源:学|科|网考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：综合题分析：（1）证明AC平面PBC，可得ACBE，又BEPC，可得BE平面PAC，从而可得平面PAC平面BEF；（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）解答：（1）证明：PB底面ABC，且AC底面ABC，ACPB，由BCA=90，可得ACCB，又PBCB=B，AC平面PB
31、C，BE平面PBC，ACBE，PB=BC，E为PC中点，BEPC，ACPC=C，BE平面PAC，BE平面BEF，平面PAC平面BEF；（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，E为PC的中点，2PF=AF，EFCG，CG平面BEF，EF平面BEF，CG平面BEF同理可证：GM平面BEF，CGGM=G，平面CMG平面BEF则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）PB底面ABC，CM平面ABCCMPB，CMAB，PBAB=B，CM平面PAB，GM平面PAB，CMGM，而CM为平面CMG与平面ABC的交线，又
32、AM底面ABC，GM平面CMG，AMG为二面角GCMA的平面角根据条件可知AM=，AG=，在PAB中，cosGAM=，在AGM中，由余弦定理求得MG=，cosAMG=，故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题20（12分）设函数f（x）=（x0），数列an满足a1=1，（nN*，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n1anan+1，若T2n4tn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围考点：数列递推式；等差数列的通项公式 专题：等差数
33、列与等比数列分析：（1）由已知得，（n2），从而anan1=2，由此能求出an=2n1（2）法1：=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=4（a2+a4+a6+a2n）=8n24n，从而，由此能求出实数t的取值范围法2：a2n1a2na2na2n+1=a2n（a2n1a2n+1）=4（4n1）=16n+4T2n）=8n24n，从而，由此能求出实数t的取值范围解答：解：（1）f（x）=（x0），（n2）anan1=2，（2分）又a1=1，数列an是以1为首项，公差为2的等差数列an=2n1（nN*）（4分）（2）解法1：=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a
34、2n1a2n+1）=4（a2+a4+a6+a2n）=，（8分）恒成立，又在nN*单调递增，来源:学科网ZXXK故，即t3（12分）解法2：a2n1a2na2na2n+1=a2n（a2n1a2n+1）=4（4n1）=16n+4T2n来源:学_科_网=（a1a2a2a3）+（a3a4a4a5）+（a2n1a2na2na2n+1）=16（1+2+3+n）+4n=（8分）恒成立，又在nN*单调递增，故，即t3（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用21（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上
35、一点，且满足=1，若直线l：y=x+m（m（0，a且aR）与椭圆交于A，B两点，（1）求点P的坐标；（2）若PAB的面积的最大值为，求实数a的值考点：椭圆的简单性质 专题：向量与圆锥曲线分析：（1）设出点P的坐标为（x0，y0）（x00，y00），由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合求得P的坐标所满足的关系式，再根据P在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P的坐标；（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0求出m的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB的长及点P到直线AB的距离，代入三角形的面积公式后换元，然后利用二次函数的单调性求得最值，并由最大值为
36、列式求实数a的值解答：解：（1）依题意，设点P的坐标为（x0，y0）（x00，y00），来源:学,科,网由椭圆方程可得，则，即 ，又P是椭圆上一点，联立得，又x00，y00，故点P的坐标为；（2）直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得，由0，得，又0ma，则点P（1，）到直线AB的距离为，又，令t=m2，则0ta2，令g（t）=t（8t）（0ta2），g（t）是二次函数，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为t=4，且g（4）=16又PAB面积的最大值为时，g（t）也有最大值为12g（4）=16，故a24，g（t）在（0，a2单调递增，解得a2=2或a2=6（
37、舍去）当a2=2，即（满足）时，PAB面积的最大值为点评：本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强22（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；导数的综合应用分析：
38、（1）当1x1时，求导函数，可得f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上解答：解：（1）当1x1时，（1分）令f（x）=0得x=0或，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：（1，0）00+0来源:学科网递减极小值递增极大值递减（3分）又f（1）=2，f（0）=0f（x）在区间1，1）上的最大值为2（4分）（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P
39、，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t）（t0），则Q（t，t3+t2），显然t1（5分）POQ是以O为直角顶点的直角三角形，即t2+f（t）（t3+t2）=0（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解（6分）若0t1，则f（t）=t3+t2，代入（1）式得，t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，即t4t2+1=0，而此方程无实数解，因此t1（8分）f（t）=alnt，代入（1）式得，t2+（alnt）（t3+t2）=0，即 （*）（9分）考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x1），则，h（x）在1，+）上单调递增，t1，h（t）h（1）=0，当t+时，h（t）+，h（t）的取值范围是（0，+）（11分）对于a0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，综合性强，属于中档题
