1、八空间几何体与斜二测画法(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)关于利用斜二测画法画直观图有下列结论,其中正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形【解析】选AB.斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图还是平行直线,相交直线的直观图还是相交直线,故A,B正确;但是用斜二测画法画直观图时平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半,则正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,所以C,D错误.2.如图所示,ABC是AB
2、C的直观图,图中BO=OC=CA,CAOy,则原图ABC是()A.等边三角形B.等腰非直角三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.建立平面直角坐标系,在x轴上截取BO=BO,OC=OC,过C作y轴的平行线并在上面截取AC=2AC,连接AB,则得到ABC的原图ABC,如图所示,因为ACBC,且AC=BC,所以ABC是等腰直角三角形. 3.如图所示,直观图ABC(其中ACOy,BCOx)所表示的平面图形是()A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.由ACOy,BCOx,ACB=45知,在原图形中,ACCB,故对应的平面图形为直角三角形.【补偿训练】水平
3、放置的ABC有一边在水平线上,它的直观图是正三角形,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.根据斜二测画法作平面图形的直观图的原理,可得ABC中有一个角为钝角.4.如图所示,为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()【解析】选C.按斜二测画法的规则,平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的,并注意到xOy=90,xOy=45,将图形还原成原图形知选C.5.如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D是BC边的中点,AB,BC分别与y轴、x轴平行,则原图形中的三条线段AB,AD,AC中()A.最
4、长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD【解析】选B.根据直观图还原后的ABC中,ABBC,因此ABADAB,ACAD,ACBC.6.如图所示,正方形OABC的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()A.6 cmB.8 cmC.(2+3)cmD.(2+2)cm【解析】选B.如图所示,原图形为四边形OABC,且OA=OA=1 cm,OB=2OB=2cm,于是OC=AB=3(cm),故四边形OABC的周长为2(1+3)=8(cm).二、填空题(每小题4分,共8分)7.若已知ABC的直观图ABC
5、是边长为a的正三角形,则原ABC的面积为_.【解析】如图所示是ABC的直观图ABC.作CDy轴交x轴于点D,则CD对应ABC的高CD,所以CD=2CD=2CO=2a=a,而AB=AB=a,所以SABC=aa=a2.答案:a28.已知菱形ABCD的边长是4,DAB=60,则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是_.【解析】由已知得BD=4,AC=4,且ACBD,所以其斜二测直观图的面积为S=44sin 45=2.答案:2三、解答题(每小题14分,共28分)9.画出如图所示的RtABC的直观图.【解析】画法:(1)画x轴和y轴,使xOy=45(如图所示).(2)在原图中作BDx轴,垂足为D(如图所示)
6、.(3)在x轴上截取OA=OA,OD=OD,在y轴上截取OC=OC,过D作BDy轴,使DB=BD.(4)连线成图(擦去辅助线),即ABC为RtABC的直观图(如图所示).10.如图所示,ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.【解题指南】由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x,y轴平行的顶点可通过作x轴,y轴平行线变换确定其在xOy中的位置.【解析】画出直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=OA,即CA=CA;过B作BDy轴,交x轴于点D,在OA上取OD=OD,过D作DBy轴,且使DB=2D
7、B;连接AB,BC,得ABC.则ABC即为ABC对应的平面图形,如图所示.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下面说法不正确的是()A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴【解析】选ABC.正方形的直观图中对应边互相平行,不可能是梯形,A错;两条相交的直线的直观图仍然相交,不可能平行,B错;互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直,C错,根据斜二测画法的规则知D正确.2.已知两个圆
8、锥的底面相同且重合在一起,其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm,则在直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm【解析】选D.因为这两个顶点的连线与z轴平行或重合,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.3.如图所示,每个选项的两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.分别画出各图形的直观图,比较即可看出.4.已知水平放置的ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中BO=CO=1,AO=,那么原ABC中ABC的大小是()A.30B.45C
9、.60D.90【解析】选C.根据斜二测画法可知ABC中,BC=2,AO=,AOBC,所以AB=AC=2,故ABC是等边三角形,则ABC=60.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱AD的长为_cm,棱AA1的长为_cm.【解析】画直观图时,在x轴上的线段长度保持不变,故AA1=4 cm,在y轴上的线段长度变为原来的一半,故AD=2 cm.答案:246.如图,AOB表示水平放置的AOB的直观图,B在x轴上,AO和x轴垂直,且AO=2,则AOB的边OB上的高为_.【解析】由直观图与原图形中
10、与x轴平行或重合的线段长度不变,且S原=2S直观,设OB边上的高为h,则OBh=22OB.因为OB=OB,所以h=4.答案:4【补偿训练】如图,ABC是ABC的直观图(斜二测画法),其中A与O重合,C在y轴上,且BCx轴,AC=2,BC=3,则ABC的最长边长为_.【解析】由斜二测画法可知ABC是直角三角形,且AC=2AC=4,BC=BC=3,则最长边(斜边)AB=5.答案:57.如图所示,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(4,-2),则该图形直观图的面积为_.【解析】S原=4(4+2)=12,由S直=S原=12=3.答案:38.有一块多边形菜地,
11、它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为_.【解析】在直观图中,过点A作AEBC,垂足为E,则在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=,而四边形AECD为矩形,AD=1,则EC=AD=1,故BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图所示.在原图形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且ADBC,ABBC,故这块菜地的面积为S=(AD+BC)AB=2=2+.答案:2+三、解答题(共38分)9.(12分)一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为
12、4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使xOz=90.(2)画圆柱的两底面,在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O,使OO=4 cm,过O作Ox的平行线Ox,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO等于圆锥的高3 cm.(4)成图.连接AA,BB,PA,PB,整理得到此几何体的直观图.如图所示.10.(12分)已知水平放置的ABC是正三角形,其直观图的面积为a2,求ABC的周长.【解析】画出ABC的
13、平面图与直观图如图所示,则ABC是ABC的平面图形.设ABC的边长为x,由斜二测画法,知AB=AB=x,OC=OC=x.作CDAB,垂足为点D.因为COD=45,所以CD=OC=x=x,所以SABC=ABCD=xx=x2.所以x2=a2,所以x=2a,所以ABC周长为32a=6a.11.(14分)如图,菱形ABCD的一边长为2,A=45,且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图,请画出这个四边形的原图形,并求出原图形的面积.【解析】(1)画轴:在菱形ABCD中,分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴建立坐标系xOy(A与O重合),如图,另建立平面直角坐标系xOy(A与O重合),如图.(2)取点:在坐标系xOy中,分别在x轴、y轴上取点B,D,使AB=AB,AD=2AD.过点D作DCx轴,且DC=DC.(3)连接:连接BC,得到的矩形ABCD即为这个四边形的原图形.原图形的面积S=24=8.
