1、2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知x，yR，i是虚数单位若x+yi与互为共轭复数，则x+y=（）A0B1C2D32已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（）ABCD3已知，则=（）ABCD4我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V=）A2寸B3寸C4寸D5寸5考拉兹
2、猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2如此循环，最终都能得到1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（）A4B5C6D76已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）ABCD27已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=ax（x0且a1），且f（log4）=3，则a的值为（）AB3C9D8设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x02y0=2，求得m的取值范围是（）ABCD9将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD则四面
3、体ABCD的内切球的半径为（）A1BCD10已知F为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若=（1），则此双曲线的离心率是（）ABC2D11在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，An，Bn分别是线段的中点，设数列an，bn满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是（）A数列an是单调递增数列，数列bn是单调递减数列B数列an+bn是等比数列C数列有最小值，无最大值D若ABC中，C=90，CA=CB，则最小时，12若方程|x22x1|t=0有四个不同的实数根x1、x
4、2、x3、x4，且x1x2x3x4，则2（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（）A（8，6）B（6，4）C8，4D（8，4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是14两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为15过点的直线l与圆C：（x1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为16已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：函数f（x）的图象关于直线对称；函数f（x）在区间上单调递增；函数f（x）的最小正周期为；函数f（x）的
5、值域为2，2其中真命题的序号是（将你认为真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=1（）分别求数列an，bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Tn18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求B的大小；（）若，求ABC的面积19如图，菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB=2，CF=3（1）求证：BD平
6、面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45时，求AE的长度20某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望21已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直
7、径的圆经过坐标原点，试求AOB的面积22已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（1）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围（3）探讨函数F（x）=lnx+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知x，yR，i是虚数单位若x+yi与互为共轭复数，则x+y=（）A0B1C2D3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析
8、】由复数的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出x、y，可得x+y的值【解答】解：由题意得， =2i，因为x+yi与互为共轭复数，所以x=2、y=1，则x+y=3，故选D2已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】设向量的夹角为，根据向量的数量积公式以及，即可求出【解答】解：设向量的夹角为，均为单位向量，|=|=1， =cos，2|22|23=3cos=，cos=，0，=，故选：A3已知，则=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】根据诱导公式，则=sin即可得答案【解答】解：由题意，利用诱导公式，可得=sin，则sin=sin（）=故选B4我国古代
9、数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V=）A2寸B3寸C4寸D5寸【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸积水深9寸，水面半径为（14+6）=10寸，则盆中水的体积为9（62+102+610）=588（立方寸）平地降雨量等于=3（
10、寸）故选：B5考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2如此循环，最终都能得到1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输出i值，模拟程序的运行过程可得答案【解答】解：当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a
11、值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；当a=4时，满足退出循环的条件，故输出结果为：5故选B6已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）ABCD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，PABC，其中侧面PAB底面ABC，底面ABC为直角三角形，ABBC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作POAB，垂足为O，则PO底面ABC，PO=2，AO=1则该三棱锥中最长的棱长为PC【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
12、PABC，其中侧面PAB底面ABC，底面ABC为直角三角形，ABBC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作POAB，垂足为O，则PO底面ABC，PO=2，AO=1则该三棱锥中最长的棱长为PC=2故选：A7已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=ax（x0且a1），且f（log4）=3，则a的值为（）AB3C9D【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据对数的定义，得到=2，结合奇函数f（x）满足，化简整理可得f（2）=3再利用当x0时，函数的表达式，代入得a2=3，解之得a=（舍负）【解答】解：奇函数f（x）满足， =20，f（2）=3又当x0时，f（x）=ax（x0且a1），20f（
13、2）=a2=3，解之得a=（舍负）故选A8设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x02y0=2，求得m的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域要使可行域存在，必有m2m+1，要求可行域包含直线y=x1上的点，只要边界点（m，12m）在直线y=x1的上方，且（m，m）在直线y=x1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m2m+1，要求可行域包含直线y=x1上的点，只要边界点（m，12m）在直线y=x1的上方，且（m，m）在直线y=x1的下方，故得不等式组，解之得：m故
14、选C9将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD则四面体ABCD的内切球的半径为（）A1BCD【考点】球的体积和表面积【分析】先求出VDABC，再求出四面体ABCD的表面积S=SADC+SABC+SABD+SBCD，由四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果【解答】解：边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD，=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO=1，且DO平面ABC，VDABC=，BD=，AB=BC=AD=DC=，=，=1，四面体ABCD的表面积S=SADC+SABC+SABD+SBCD=2+，四面体ABCD的内切球的半径r=2故
15、选：D10已知F为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若=（1），则此双曲线的离心率是（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，求出AF的方程与y=x联立可得B（，），利用=（1），可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，则直线AF的方程为=1，与y=x联立可得B（，），=（1），（c，b）=（1）（， +b），c=（1），e=，故选：A11在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B
16、2分别是线段A1A，B1B的中点，An，Bn分别是线段的中点，设数列an，bn满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是（）A数列an是单调递增数列，数列bn是单调递减数列B数列an+bn是等比数列C数列有最小值，无最大值D若ABC中，C=90，CA=CB，则最小时，【考点】数列递推式【分析】由题意可得=（1）=（1）（），=，可得=+，由条件可得an=1，bn=1，由单调性可判断A；由等比数列的定义可判断B；由数列的单调性即可判断C；运用向量数量积的性质，化简结合二次函数的最值，即可判断D【解答】解：由在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，A
17、n，Bn分别是线段的中点，可得=（1）， =（1），即有=（1）=（1）（），=， =，即有=，则=+=（1）（）+（1）+（1）=an+bn，可得an=1，bn=1，则数列an是单调递增数列，数列bn是单调递减数列，故A正确；数列an+bn即为是首项和公比均为的等比数列，故B正确；而当n=1时，a1=，b1=0，不存在；n1时， =1+在nN+递增，无最小值和最大值，故C错误；若ABC中，C=90，CA=CB，则2=（an2+bn2）2+2anbn=（an2+bn2）2，an2+bn2=（1）2+（1）2=5（）2n6（）n+2=5（）2，当n=1时，取得最小值，即有则最小时，故D正确故选：
18、C12若方程|x22x1|t=0有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，且x1x2x3x4，则2（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（）A（8，6）B（6，4）C8，4D（8，4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先作函数y=|x22x1|的图象，结合图象可得0t2，再由韦达定理可得x4x1=，x3x2=，再令f（t）=2+，令f（t）=0得t=，从而由函数的单调性确定2（x4x1）+（x3x2）的取值范围【解答】解：由题意，作函数y=|x22x1|的图象如下，由图象知，0t2，|x22x1|t=0，|x22x1|=t，故x22x1t=0或x22x1+t=0，则x4x1=，x3x2=，
19、故2（x4x1）+（x3x2）=2+，令f（t）=2+，令f（t）=0得，t=，故f（t）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数；而f（）=4，f（0）=6，f（2）=8；故2（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（8，4，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是1，2【考点】特称命题【分析】由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数a的取值范围【解答】解：若命题p：“”是假命题，则命题“xR，2x2a23a”是真命题，即a23a+20恒成立，1a2，故实数a的取值范围是1，2，故答案为
20、1，214两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：P=1=故答案为：15过点的直线l与圆C：（x1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为2x4y+3=0【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程【分析】研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程【解答】解：验证知点在圆内，当ACB
21、最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）kCM=2，kl=l：y1=（x），整理得2x4y+3=0故应填2x4y+3=016已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：函数f（x）的图象关于直线对称；函数f（x）在区间上单调递增；函数f（x）的最小正周期为；函数f（x）的值域为2，2其中真命题的序号是（将你认为真命题的序号都填上）【考点】正弦函数的图象【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，由于f（）=2，f（）=0，f（）f（）
22、，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除在区间上，2x，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 单调递增，故正确函数f（）=，f（）=0，f（）f（），故函数f（x）的最小正周期不是，故错误当cosx0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为2；当cosx0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f（x）的最大值为2，最小值为2，故正确，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知
23、等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=1（）分别求数列an，bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（）设d、为等差数列an的公差，且d0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解bn（）写出利用错位相减法求和即可【解答】（本小题满分12分）解：（）设d、为等差数列an的公差，且d0由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列，得（2+d）2=2（4+2d），d0，所以d=2，所以an=1+（n1）2=2n1，又因为an=12lo
24、g2bn，所以log2bn=n即bn=（），得18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求B的大小；（）若，求ABC的面积【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（）由2cosAcosC（ta
25、nAtanC1）=1得：2cosAcosC（1）=1，2（sinAsinCcosAcosC）=1，即cos（A+C）=，cosB=cos（A+C）=，又0B，B=；（）由余弦定理得：cosB=，=，又a+c=，b=，2ac3=ac，即ac=，SABC=acsinB=19如图，菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB=2，CF=3（1）求证：BD平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45时，求AE的长度【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由AE平面ABCD得出AEBD，由菱形性质得BDAC，故而BD平面ACF
26、E；（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出和平面BDE的法向量，利用直线FO与平面BED所成角的大小为45，可得，即可求出a的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，BDACAE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE，又AC平面ACFE，AE平面ACFE，ACAE=A，BD平面ACFE（2）解：以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系则设AE=a，则E（1，0，a），设平面BDE的法向量为，则即令z=1，得，直线FO与平面BED所成角的大小为45，解得a=2或（舍），|AE|=220某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情
27、况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由频率分布直方图求出日销售量不低于8吨的频率为0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3），未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件和，由此能求出未来3天内，连续2天日销售量不低于
28、8吨，另一天日销售量低于8吨的概率（）X的可能取值为0，1，2，3，且XB（3，0.4），由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（）由频率分布直方图可知，日销售量不低于8吨的频率为：2（0.125+0.075）=0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3），则P（A1）=0.4，未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件和，则未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率：=0.40.4（10.4）+（10.4）0.40.4=0.192（）X的可能取值为0，1，2，3，且XB（3，0.4）P（X=0）=（1
29、0.4）3=0.216，P（X=3）=0.43=0.064，X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064E（X）=30.4=1.221已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求AOB的面积【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得，将直线l的方程代入椭圆方程，
30、由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m24k2=3代入即可求得AOB的面积【解答】解：（1）由椭圆的离心率，得a=2c，又a2=b2+c2，则，椭圆，由在C上，则，得c=1，椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，），Q（，），由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得，即（1）由，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m23）=0，由=64k2m216（3+4k2）（m23）0，得3+4k2m20，而（2）（3）将（2）（3）代入（1）得：，即2m24k2=3，又，原点O到直线l：y=kx+m的距离，把2m24k2=3代入上式得，即SAOB的面积是为2
31、2已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（1）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围（3）探讨函数F（x）=lnx+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得f（x）=lnx+1，令f（x）=0，可得x=对t分类讨论：当0m时，及当t时，分别研究其单调性、极值与最值，即可得出；（2）由题意可得，2xlnxx2+ax3即a2lnx+x+恒成立，令h（x）=2lnx+x+，求出导数和单调区间，可得极小值且为
32、最小值，由此求出实数a的取值范围；（3）把函数整理成F（x）=lnx+=（），要判断是否有零点，只需看F（x）的正负问题，令G（x）=，利用导数分析G（x）的单调区间和最值，即可判断是否存在零点【解答】解：（1）f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1，令f（x）=0，解得x=当0t时，在xt，）上f（x）0；在x（t+2上f（x）0因此，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值fmin（x）=当t，f（x）0，因此f（x）在t，t+2上单调递增，fmin（x）=f（t）=tlnt；（2）由对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，即有2xlnxx2+ax3即a2lnx+x+恒成立，令h（x
33、）=2lnx+x+，h（x）=+1=，当x1时，h（x）0，h（x）是增函数，当0x1时，h（x）0，h（x）是减函数，ah（x）min=h（1）=4即实数a的取值范围是（，4；（3）令m（x）=2xlnx，m（x）=2（1+lnx），当x（0，）时，m（x）0，m（x）递减；当x（，+）时，m（x）0，m（x）递增；m（x）的最小值为m（）=，则2xlnx，lnx，F（x）=lnx+=0则F（x）=lnx+=（），令G（x）=，则G（x）=，当x（0，1）时，G（x）0，G（x）递减；当x（1，+）时，G（x）0，G（x）递增；G（x）G（1）=0 F（x）=lnx+=（）0，中取等号的条件不同，F（x）0，故函数F（x）没有零点2017年4月5日
