1、2016-2017学年广东省汕头市潮阳区黄图盛中学高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位，（）2=（）A1B1CiDi2若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A2BC1D3设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4根据如下的样本数据：x1234567y7.35.14.83.12.00.31.7得到的回归方程为y=bx+a，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b05如图，为了研究钟表与三角函数的关
2、系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）Ay=sin（）BCy=sin（）Dy=sin（）6若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（）A0B1C2D37若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）AB0CD8在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b
3、若2asinB=b，则角A等于（）ABCD9设常数aR，集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则a的取值范围为（）A（，2）B（，2C（2，+）D2，+）10如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D411已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点，则cosAFB=（）ABCD12设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若=（R），=（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，0）（
4、c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若函数f（x）=x2|x+a|为偶函数，则实数a=14某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是15若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是16某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记
5、X为该毕业生得到面试的公司个数若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知a，b，c分别是ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求A的值18设数列an满足a1=0且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn119交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为T，其范围为0，10，分别有5个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从贵阳
6、市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数T4，8）时的中位数和平均数（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望20如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出A
7、M的长；若不存在，请说明理由21如图，椭圆C1： =1（ab0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于C1的长半轴长（）求C1，C2的方程；（）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E（i）证明：MDME；（ii）记MAB，MDE的面积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得=？请说明理由选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线
8、C相交于P，Q两点，求|PQ|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围2016-2017学年广东省汕头市潮阳区黄图盛中学高三（上）第三次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位，（）2=（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】可先计算出的值，再计算平方的值【解答】解：由于，所以，（）2=（i）2=1故选A2
9、若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A2BC1D【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出a即可【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x3项的系数为84，所以Tr+1=，令7+2r=3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C3设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=1，b=4满足a+b4，但a2且b2不成立，若a2且b2，则a+b
10、4成立，故“a+b4”是“a2且b2”必要不充分条件，故选：B4根据如下的样本数据：x1234567y7.35.14.83.12.00.31.7得到的回归方程为y=bx+a，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【考点】线性回归方程【分析】已知中的数据，可得变量x与变量y之间存在负相关关系，且x=0时，a7.30，进而得到答案【解答】解：由已知中的数据，可得变量x与变量y之间存在负相关关系，故b0，当x=0时，a7.30，故选：B5如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时
11、，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）Ay=sin（）BCy=sin（）Dy=sin（）【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式【解答】解：由题意，函数的周期为T=60，=设函数解析式为y=sin（t+）（因为秒针是顺时针走动）初始位置为P0（，），t=0时，y=sin=可取函数解析式为y=sin（t+）故选C6若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x
12、2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（）A0B1C2D3【考点】微积分基本定理【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论【解答】解：对于： sinxcosxdx=（sinx）dx=cosx=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数；对于：（x+1）（x1）dx=（x21）dx=（）0，f（x），g（x）不是区间1，1上的一组正交函数；对于：x3dx=（）=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，正交函数有2组，故选：C7若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）AB0CD【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部
13、，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（，1），B（，），C（2，1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=F（，）=故选：C8在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b若2asinB=b，则角A等于（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A【解答】解：在ABC中，2asinB=b，由正弦定理=2R得：2sinAsinB=sinB，sinA=，又ABC为锐角三角形
14、，A=故选D9设常数aR，集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则a的取值范围为（）A（，2）B（，2C（2，+）D2，+）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法【分析】当a1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围综上，得到满足题意的a范围【解答】解：当a1时，A=（，1a，+），B=a1，+），若AB=R，则a11，1a2；当a=1时，易得A=R，此时AB=R；当a1时，A=（，a1，+），B=a1
15、，+），若AB=R，则a1a，显然成立，a1；综上，a的取值范围是（，2故选B10如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案【解答】解： =，则=（）=|2+，=|2=1，（i=1，2，8）的不同值的个数为1，故选A11已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点，则cosAFB=（）ABCD【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直
16、线y=2x4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F，F点的坐标为（1，0）又直线y=2x4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，2）（4，4），则=（0，2），=（3，4），则cosAFB=，故选D12设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若=（R），=（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，0）（c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中
17、点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题意可得到c和d的关系，只需结合答案考查方程的解的问题即可A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可【解答】解：由已知可得（c，0）=（1，0），（d，0）=（1，0），所以=c，=d，代入得（1）若C是线段AB的中点，则c=，代入（1），d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0c1，0d1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）1
18、3若函数f（x）=x2|x+a|为偶函数，则实数a=0【考点】偶函数【分析】根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值【解答】解：f（x）为偶函数f（x）=f（x）恒成立即x2|x+a|=x2|xa|恒成立即|x+a|=|xa|恒成立所以a=0故答案为：014某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是5【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈 k=
19、3 a=43 b=34第二圈 k=4 a=44 b=44第三圈 k=5 a=45 b=54 此时ab，退出循环，k值为5故答案为：515若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用平行四边形的面积计算公式、正弦函数的单调性即可得出【解答】解：以向量，为邻边的平行四边形的面积为，平面向量，满足|1，|1，（0，），与的夹角的取值范围是故答案为：16某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记
20、X为该毕业生得到面试的公司个数若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，P（X=0）=，p=，P（X=1）=+=P（X=2）=，P（X=3）=1=，E（X）=，故答案为：三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知a，b，c分别是ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=（1）若ABC的面积
21、等于，求a，b；（2）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求A的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，即4=a2+b2ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4联立解出即可（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（BA）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA当cosA=0时，解得A=；当cosA0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可【解答】解：（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，4=a2+b2ab，=，化为ab=4联立，解得a=2，
22、b=2（2）sinC=sin（B+A），sinC+sin（BA）=2sin2A，sin（A+B）+sin（BA）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，b2=a2+c2，又，综上可得：A=或18设数列an满足a1=0且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn1【考点】数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合【分析】（）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出an的通项公式（）由=，能够证明Sn1【解答】解：（）是公差为1的等差数列，（nN*）（）=，=1119交通指
23、数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为T，其范围为0，10，分别有5个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数T4，8）时的中位数和平均数（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望【考点
24、】频率分布直方图；频率分布表【分析】（1）根据中位数左、右两边小矩形的面积相等求中位数，根据平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和求数据的平均数；（2）根据直方图求出“一条路段严重拥堵”的概率，利用相互独立事件乘法公式可求三个路段至少有两条是严重拥堵的概率；（3）此人所用时间的随机变量X取值为30，35，45，60，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望【解答】解：（1）由直方图知：T4，8）时交通指数的中位数为5+1=T4，8）时交通指数的平均数为4.50.2+5.50.24+6.50.2+7.50.16=4.72（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0
25、.1则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：x30354560P0.10.440.360.1则Ex=300.1+350.44+450.36+600.1=40.6所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟20如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的性质；与二面角有关
26、的立体几何综合题【分析】以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标（I）我们易求出，的坐标，要证明APBC，即证明=0；（II）要求满足条件使得二面角AMC为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长【解答】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，3，0），B（4，2，0），C（4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（8，0，0）由此可得=0即A
27、PBC（II）设=，1，则=（0，3，4）=+=+=（4，2，4）+（0，3，4）=（4，5，0），=（8，0，0）设平面BMC的法向量=（a，b，c）则令b=1，则=（0，1，）平面APC的法向量=（x，y，z）则即令x=5则=（5，4，3）由=0得43=0解得=故AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=321如图，椭圆C1： =1（ab0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于C1的长半轴长（）求C1，C2的方程；（）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E（i）证明：MDME；（ii）记MAB，MDE的面
28、积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得=？请说明理由【考点】圆锥曲线的综合【分析】（）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMAkMB=1，即可证明：MDME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了【解答】解：（）由题得e=，从而a=2b，又2=
29、a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x21（）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2kx1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=1，又点M的坐标为（0，1），所以kMAkMB=1故MAMB，即MDME（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x1由，解得或则点A的坐标为（k1，k121）又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为（，1）于是s1=|MA|MB|=|k1|=由得（1+4k12）x28k1x=0解得或，则点D的坐标为（，）又直线ME的斜率为同理可得
30、点E的坐标为（，）于是s2=|MD|ME|=故=，解得k12=4或k12=又由点A，B的坐标得，k=k1所以k=故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=x选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2）
31、把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|【解答】解：（1）=4cos2=4cos，2=x2+y2，cos=x，x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，由（t为参数）消去t得：所以直线l的普通方程为（2）把代入x2+y2=4x得：t23t+5=0设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5所以|PQ|=|t1t2|=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1
32、）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a52017年1月2日
