1、课时素养评价六等差数列习题课(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m2,且mN),则m的值是()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.设等差数列an的公差为d,因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m2,且mN),所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,m+d=25,联立解得m=5,d=2.2.数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为an=-,所以Sn=a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1,令-1=
2、10,得n=120.3.已知数列an的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+|a10| 的值为()A.61B.62C.65D.67【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-(n-1)2-4(n-1)+1=2n-5,所以an=由通项公式得a1a20a3a40,则使得anSn的n的最小值为_.【解析】因为Sn为等差数列an的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,所以a1+4d=0,a1=-4d,由anSn,得a1+(n-1)dna1+d,即-4d+(n-1)d-4nd+d,因为d0,
3、解得n10,所以n的最小值为11.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知等差数列an的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由题意知解得a1=1,d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1.(2)bn=所以Tn=-.8.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式.(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.【解析】(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于
4、是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0,得n,a4=17-16=1,a5=17-45=-3,因为Tn=|a1|+|a2|+|an|,所以n4时,Tn=Sn=15n-2n2,n5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.所以Tn= (15分钟25分)1.(5分)已知数列an:,+,+,+,那么数列bn=的前n项和Sn为()A.4B.4C.1-D.-【解析】选A.因为an=,所以bn=4.所以Sn=41-+-+-+-=4.【加练固】一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120,公差为
5、5,那么这个多边形的边数n等于()A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.an=120+5(n-1)=5n+115,an180,所以n13,nN+,由n边形内角和定理得(n-2)180=120n+5,解得n=16或n=9,又n0,公差d0,则下列说法正确的是()A.若S5=S9,则必有S14=0B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项C.若S6S7,则必有S7S8D.若S6S7,则必有S5S6【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14=0,A正确;对于B,若S5=S9,必有S
6、9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a10,则必有S7是Sn中的最大项,B正确;对于C,若S6S7,则a7=S7-S60,必有d0,则a8=S8-S7S8,C正确;对于D,若S6S7,则a7=S7-S6S6不一定正确,D错误.3.(5分)已知数列an满足a1+2a2+nan=n(n+1)(n+2),则an=_.【解析】由a1+2a2+nan=n(n+1)(n+2),当n2,nN+时,得a1+2a2+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1),-,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)=3n(n+1),所以an=3(n
7、+1)(n2,nN+).又当n=1时,a1=123=6也适合上式,所以an=3(n+1),nN+.答案:3(n+1)(nN+)4.(10分)数列an满足an=6-(nN+,n2).(1)求证:数列是等差数列.(2)若a1=6,求数列lg an的前999项的和S.【解析】(1)数列an满足,an=6-(nN+,n2),所以-=-=,所以数列是等差数列.(2)因为a1=6,所以=.由(1)知:=+=,所以an=,所以lg an=lg 3+lg(n+1)-lg n.所以数列lg an的前999项和S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 1 000-lg 999)=999l
8、g 3+lg 1 000=999lg 3+3.1.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(nN+),则S21的值为_.【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,由an+an+1=2n+1,可以得到an+1+an+2=2n+3,-得an+2-an=2,所以数列an的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,则a21=1+102=21,a20=2+92=20,所以S21=(a1+a3+a5+a21)+(a2+a4+a6+a20)=+=231.答案:2312.首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值范围为()A.d-2或d2B.-2d2C.d0【解析】选A.由S5S6+15=0,则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,整理可得,2+9a1d+10d2+1=0有解,故=81d2-8(1+10d2)0,解可得,d2或d-2.
