1、规范解答集训(四)立体几何(建议用时：40分钟)1.(2019烟台三模)如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧所在平面相交于BD，ABBD2，E，F分别为AD，BD的中点，C是上异于B，D的点，EC.(1)证明：平面CEF平面BCD；(2)若点C为半圆弧上的一个三等分点(靠近点D)求二面角ACEB的余弦值解(1)证明：因为C半圆弧上的一点，所以BCCD.在ABD中，E，F分别为AD，BD的中点，所以EFAB1，且EFAB.于是在EFC中，EF2FC2112EC2，所以EFC为直角三角形，且EFFC. 因为ABBD，EFAB，所以EFBD. 因为EFFC，EFBD，BDFCF, 所以EF平面B
2、CD.又EF平面CEF，所以平面CEF平面BCD. (2)由已知BFC120，以F为坐标原点，分别以垂直于BD、向量，所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，则C，E(0,0,1)，B(0，1,0)，A(0，1,2)，(0,1,1)，(0,1，1)设平面ACE的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即取z11，得m.设平面BCE的法向量n(x2，y2，z2)，则即取z21，得n(，1,1). 所以cosm，n，又二面角ACEB为锐角，所以二面角ACB的余弦值为. 2.(2019沈阳三模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB底面
3、ABCD，E为PC上的点，且BE平面APC.(1)求证：平面PAD平面PBC；(2)当三棱锥PABC体积最大时，求二面角BACP的余弦值解(1)证明：侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，四边形ABCD为正方形，BCAB，BC平面PAB，又AP平面PAB，APBC，BE平面APC，AP平面PAC，APBE，BCBEB，AP平面PBC，又AP平面PAD，平面PAD平面PBC.(2)VPABCVCAPBPAPBBCPAPB，求三棱锥PABC体积的最大值，只需求PAPB的最大值令PAx，PBy，由(1)知，PAPB，x2y24，而VPABCxy，当且仅当xy，即PAPB时，VPABC的
4、最大值为.如图所示，分别取线段AB，CD中点O，F，连接OP，OF，以点O为坐标原点，以OP，OB和OF分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知A(0，1,0)，C(0,1,2)，P(1,0,0)，所以(1,1,0)，(0,2,2)令n(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，则设x1，则y1，z1，n(1，1,1)易知m(1,0,0)为面ABC的一个法向量，二面角BACP的平面角为，为锐角，则cos .3如图，ABC是以C为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，AEEC53，DEBC，沿DE将三角形ADE折起，使得点A在平面BCED上的射影是点C，点M在AC上且MCAC.(1
5、)在BD上确定点N的位置，使得MN平面ADE；(2)在(1)的条件下，求CN与平面ABD所成角的正弦值解(1)由点A在平面BCED上的射影是点C，可知AC平面BCED，又BCCE，故建立如图所示的空间直角坐标系，C(0,0,0)，A(0,0,4)，B(0,8,0)，D(3,5,0)，E(3,0,0)由MCAC，可知点M的坐标为，设点N的坐标为(x，y,0)，则由点N在BD上可得y8x，即点N的坐标为(x,8x,0)，则.设平面ADE的法向量为n1(x，y，z)，则而(0，5,0)，(3,0，4)，所以取x4，则z3，可得n1(4,0,3)，MN平面ADE等价于n10，即4x0(8x)30.解得
6、x2，即点N的坐标为(2,6,0)，所以点N为BD的靠近D点的三等分点(2)由(1)可知(2,6,0)，设平面ABD的法向量为n2(p，q，r)，由题意可知而(3,3,0)，(0,8，4)，可得取p1，则q1，r2.所以n2(1,1,2)设CN与平面ABD所成的角为，则sin .即CN与平面ABD所成角的正弦值为.4.如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE1，F为为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：BF平
7、面ACE，AE平面ACE，BFAE，四边形ABCD是正方形，BCAB，又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CB平面ABE，AE平面ABE，CBAE.BFBCB，AE平面BCE.(2)存在，当AM时，平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为.AE平面BCE，BE平面BCE.AEBE，在RtAEB中，AB2，AE1，ABE30，BAE60，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AMh，则0h2，AE1，BAE60，M(0,0，h)，E，B(0,2,0)，C(0,2,2)，.设平面MCE的法向量为n(x，y，z)则即令z2，得n.易知平面ABE的一个法向量为m(0,0,1)，由题意可知cosm，n，解得h或h(舍)故当AM时，平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为.
