1、延庆县20142015学年度第一学期期末考试 高二数学（理科） 2015.1本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 把答案填在答题卡内）1. 点到直线的距离 .2. 双曲线的渐近线方程是 .3. 命题“，使得”的否定是 .4. 已知三点，共线，则实数 .5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是 .注：（为球的半径）6. 抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的坐标是 .7. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是 8. 设，若直线与直线垂直，则实数 .9. 过点与圆相切的直线方程为
2、 .10. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 .（） 二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11.下列命题错误的是A已知直线，且，则B已知直线平面，且直线平面，则C已知直线平面，过平面内一点作，则D过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内12.已知两圆和，则两圆的位置关系为A.相交 B.外切 C.内切 D.相离13.从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为右焦点,是椭圆与轴负半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点
3、),则该椭圆的离心率是ABCD 14.设点,则“且”是“点在直线上”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件15. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为 A. B. C. D. 16.正方体的棱长为，底面内任一点，作，垂足为，满足条件.则点的轨迹为A线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D抛物线的一部分三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知在空间四边形中，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求证：.18. （本小题满分12分）已知以点为圆心的圆经过
4、点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.（）求直线的方程；（）求圆的方程. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面（）求证：平面； （）设平面平面直线， 求证：；（）若，, ，求三棱锥的体积.20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为.（）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程；（）设斜率为的直线过定点，求直线与抛物线恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时的相应取值范围21. （本小题满分12分）已知为直角梯形，平面，.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值.22. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点
5、分别为,短轴的两个端点分别为,，且.（）求椭圆的方程;（）若过点的直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆经过左焦点,求直线的方程.延庆县20142015学年度第一学期期末考试 高二数学答案及评分标准（理科） 2015.1一、填空题：（）（1） （2） （3）“，”（4） （5）（6） ， （7） （8） （9）， （10）二、选择题：（）11.B 12.C 13.D 14.A 15.B 16.D三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. （本小题满分10分）已知在空间四边形中，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求证：.（）证明：因为分别是的中点，所以，为的中位线，所以.2分又因为平面，平
6、面,所以，平面. 4分（）证明：连结，在中，因为是中点，所以. 6分同理可证，. 7分又因为，平面，平面，所以，平面. 9分又因为，平面，所以. 10分18. （本小题满分12分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.（）求直线的方程；（）求圆的方程.解：（）直线的斜率 ，中点坐标为， 直线的斜率为，直线方程为，即 4分（）设圆心，则由在上,得 6分又直径, 8分由解得或圆心 或 10分圆的方程为 和 12分 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面（）求证：平面； （）设平面平面直线， 求证：；（）若，, ，求三棱锥的体积.（）证明：因为平面
7、，平面，所以.1分又因为，平面，平面，所以，平面. 3分因为，底面为平行四边形，所以.所以平面. 5分（）证明：因为底面为平行四边形，所以. 6分因为平面，平面，所以平面. 8分因为，平面平面，平面，所以. 10分（）解：因为，底面为平行四边形，平面，所以平面.所以. 12分20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为.（）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程；（）设斜率为的直线过定点，求直线与抛物线恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时的相应取值范围（）解：，设， 则有 ，.由，得，所以， ，即 把代入得 4分（）直线的方程为，当时，直线的方程为，直线与抛物线有一个交点. 5
8、分当时， ，消去并整理，得.判别式 7分由，得或；由，得. 9分所以，恰好有一个公共点时，的相应取值范围是；恰好有两个公共点时，的相应取值范围是；没有公共点时，的相应取值范围是或. 12分21. （本小题满分12分）已知为直角梯形，平面，.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，. 1分（），.所以异面直线与所成角的余弦值为. 4分（），. 5分设平面的法向量为，则 ，.用坐标表示，得 ，即，令，得. 7分， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分（）平面的法向量， 平面的法向量. 10分 . 11分由图形可知二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为. 12分22. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为,短轴的两个端点分别为,，且.（）求椭圆的方程;（）若过点的直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆经过左焦点,求直线的方程.（）设椭圆的标准方程为,由椭圆的对称性质，知，所以短半轴长，所以. 椭圆的标准方程为. 3分（）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，设，不满足条件. 4分当直线的斜率存在时，设直线的方程为.，消去并整理，得. 6分设， .7分由题意知，即. 8分，解得. 11分直线的方程为：和. 12分
