1、第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.若双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为()A.4B.14C.-4D.-14答案A解析双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,可得k=2,解得k=4.2.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为50,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50答案D解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50,得ba=tan50=sin50cos50
2、,则b2a2=c2-a2a2=e2-1=sin250cos250,得e2=1+sin250cos250=1cos250,e=1cos50.3.渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.2答案C解析根据渐近线方程为xy=0的双曲线,可得a=b,所以c=2a.则该双曲线的离心率为e=ca=2.4.(多选)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x0,y0)为C上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPAkPB=94,则下列结论正确的是()A.双曲线的渐近线方程为y=32xB.双曲线的渐近线方程为y=52xC.
3、双曲线的离心率为132D.双曲线的离心率为134答案AC解析设点A(x,y),B(-x,-y),有x2a2-y2b2=1.又x02a2-y02b2=1,两式相减得x02-x2a2=y02-y2b2,即x02-x2y02-y2=a2b2.又kPAkPB=(y0-y)(x0-x)(y0+y)(x0+x)=94,b2a2=94,ba=32,双曲线的渐近线方程为y=32x,故选项A正确;又b2a2=c2-a2a2=e2-1=94,e=132,故选项C正确.5.我们把方程分别为x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的()A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶
4、点答案B解析共轭双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的c=a2+b2,设a0,b0,可得它们的焦点分别为(c,0),(0,c),渐近线方程均为y=bax,离心率分别为ca和cb,它们的顶点分别为(a,0),(0,b).6.(2021全国乙,理13)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.答案4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为xmy=0,即y=1mx,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距为2m+1=4.7.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的
5、一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则C的离心率为.答案2解析不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,由题意可得PF1F2为直角三角形,且F1PF2=90,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即为c=2a,可得e=ca=2.8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x3y=0,且两顶点间的距离是6.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=
6、4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29-y227=1或y29-x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=(0),即x24-y29=1(0),由题意得a=3.当0时,4=9,=36,双曲线方程为x29-y24=1;当0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为ba,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=ba(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得4a2a2-y2b2=1,化简得y=-3b或y=
7、3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-3b),代入直线方程得-3b=ba(2a-c),化简可得离心率e=ca=2+3.关键能力提升练10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案B解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x2a2+y2b2=1(ab0),x2m2-y2n2=1(m0,n0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=ca,e2=cm,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以e2e1=cm
8、ca=am=2.11.(2019全国,理10)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32答案A解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故选A.12.(多选)已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为y=33x,则下列结论正确的是()A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1
9、经过C的一个焦点D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点答案AC解析若焦点在x轴上,可设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,根据条件可知ba=33,所以方程可化为x23b2-y2b2=1,将点(3,2)代入得b2=1,所以a2=3,所以双曲线C的方程为x23-y2=1;若焦点在y轴上,可设双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1,根据条件可知ab=33,所以方程可化为y2a2-x23a2=1,将点(3,2)代入得a2=-1(舍去).综上C的方程为x23-y2=1,故A正确;离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233,故B错误;双曲线C的焦点为(2,0),(-2,0),将x=2代入得y=
10、e0-1=0,所以C正确;联立x23-y2=1,x-2y-1=0,整理得y2-22y+2=0,则=8-8=0,故只有一个公共点,故D错误.13.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为()A.6B.5C.3D.2答案C解析若以MN为直径的圆经过右焦点F2,则MF2NF2=0,又|MF2|=|NF2|,可得MNF2为等腰直角三角形,设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|=2m,由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,
11、两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,即有m=22a.过F2作MN的垂线交于点H,则|F2H|=2a.在直角三角形HF1F2中可得4c2=4a2+(2a+22a-2a)2,化为c2=3a2,即e=ca=3.14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,左焦点为F1,点Q(0,3c)(c为半焦距),P是双曲线C的右支上的动点,且|PF1|+|PQ|的最小值为6,则双曲线C的方程为.答案x2-y23=1解析设双曲线右焦点为F2,则|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|,而|PF2|+|PQ|的最小值为|QF2|=c2
12、+(3c)2=2c,所以|PF1|+|PQ|的最小值为2a+2c=6,又ca=2,解得a=1,c=2,于是b2=3,故双曲线方程为x2-y23=1.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若F1A=AB,F1BF2B=0,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=3x解析如图,F1A=AB,F1BF2B=0,OA为RtF1F2B的中位线,OAF1B.又OA所在直线斜率为-ba,F1B所在直线方程为y=ab(x+c),联立y=ab(x+c),y=bax,解得Ba2cb2-a2,abcb2-a2,则|OB|2=a
13、4c2(a2-b2)2+a2b2c2(a2-b2)2=c2,整理得b2=3a2,ba=3,双曲线C的渐近线方程为y=3x.16.已知双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3-2.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设=MPMQ,求的取值范围.解(1)双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3-2,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,c=3,c-a=3-2,a=2,b2=c2-a2=(3)2-(2)2=1,则双曲线的方程为x22-y2=1,令x22-y2=0,则y=22x,即
14、渐近线方程为y=22x.(2)设P的坐标为(x0,y0),则Q的坐标为(-x0,-y0),=MPMQ=(x0,y0-1)(-x0,-y0-1)=-x02-y02+1=-32x02+2.|x0|2,的取值范围是(-,-1.学科素养拔高练17.求适合下列条件的双曲线的离心率:(1)双曲线的渐近线方程为y=32x;(2)双曲线x2a2-y2b2=1(0ab)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为34c.解(1)若焦点在x轴上,则ba=32,故e=b2a2+1=132.若焦点在y轴上,则ab=32,即ba=23,故e=b2a2+1=133.综上所述,双曲线的离心率为132或133.(2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为34c,得aba2+b2=34c,即ab=34c2,16a2b2=3(a2+b2)2,即3b4-10a2b2+3a4=0,3b2a22-10b2a2+3=0.解得b2a2=13或b2a2=3.0ab,b2a2=3.e=1+b2a2=2.
