1、课时提升作业 二基本不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是()A.(-,-80,+)B.(-,-4)C.-8,4)D.(-,-8【解析】选D.由方程9x+(4+a)3x+4=0有解,即a+4=-4,所以a-8.2.下列不等式的证明过程正确的是()A.若a,bR,则+2=2B.若x0,则cosx+2=2C.若x0,则x+2=4D.若a,bR,且ab0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C.因为直线过点(1,1
2、),所以+=1,所以a+b=(a+b)=1+1+=2+,因为a0,b0,所以2+2+2=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016佛山高二检测)已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是_.【解析】3x+27y+1=3x+33y+12+1=7.答案:75.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_.【解析】令=t(t0),由ab=a+b+32+3,则t22t+3,所以t3或t-1(舍去),所以3,ab9,当a=b=3时取等号.答案:9,+)【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b(0,+)而求出ab(-,19,+)的错误.三、解答题
3、(每小题10分,共30分)6.求函数y=(x0)的最小值.【解析】原式变形得:y=x+2+1,因为x0,所以x+20,所以x+2+6,所以y7,当且仅当x=1时等号成立.所以y=(x0)的最小值为7.7.(2016银川高二检测)如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.【解析】(1)设AM=x,AN=
4、y(x3,y2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy.因为NDCNAM,所以=,所以x=,所以S=(y2).由32,得2y8,所以AN的长度应在或(8,+)内.(2)当y2时,S=33=3(4+4)=24,当且仅当y-2=,即y=4时,等号成立,解得x=6.所以存在M,N点,当AM=6,AN=4时,矩形AMPN面积最小为24.8.已知x,y都是正实数.求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.【证明】因为x,y都是正实数,所以x+y20,x2+y22xy0,x3+y320.三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(201
5、6聊城高二检测)已知a0,b0,则+2的最小值为()A.2B.2C.4D.5【解析】选C.+22+24.2.对于x,不等式+16恒成立,则p的取值范围为()A.(-,-9B.(-9,9C.(-,9D.9,+)【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.【解析】选D.令t=sin2x,则cos2x=1-t.又x,所以t(0,1).不等式+16可化为p(1-t),令y=(1-t)=17-17-2=9,当且仅当=16t,即t=时取等号,因此原不等式恒成立,只需p9.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若a0,b0,a+b=1,则的最小值是_.【解析】因为=1+.由
6、a0,b0,a+b=1得ab=.所以4,所以9.答案:94.已知x0,y0且满足x+y=6,则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围为_.【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x0,y0,+=(10+6)=,当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:+1.【证明】因为+b2a,+c2b,+a2c,故+a+b+c2(a+b+c),所以+a+b+c=1.当且仅当a=b=c=时取等号.6.已知a,b,x,yR+,x,y为变量,a,b为常数,且a
7、+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=(+)2,当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18,即a+b+2=18,又a+b=10,由可得或【拓展延伸】基本不等式的应用技巧判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有:(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中,如函数f(x)=,可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.(2)常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2a+b=ab-3,即()2-2-30.
