1、包头市第三十三中学2013-2014学年度第二学期试卷高二年级期中（）理科数学命题人：周环在 审题：教科室 2014-4-4一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1已知函数，则（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【KS5U解析】因为，所以。2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点 【答案】C【KS5U解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，所以由“正
2、三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。 3.设（其中为自然对数的底数），则的值为( )A B C D【答案】C【KS5U解析】因为，所以。4曲线上的点到直线的最短距离是( ) A B C D 0【答案】B【KS5U解析】设为曲线上的任意一点，则由，所以，所以点（1,0）到直线的距离最短，最短距离为。5若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【KS5U解析】因为，所以，因为函数在区间内是增函数，所以在区间内恒成立且不恒为零，即在区间内恒成立且不恒为零，又时，所以实数的取值范围是。6函数yf（x）在定义域（，3）内的图
3、像如图所示记yf（x）的导函数为yf（x），则不等式f（x）0的解集为（ ）A，12，3） B1，C，1，2）D（， ，3） 【答案】A【KS5U解析】因为函数yf（x）在区间，1和2，3）内单调递减，所以不等式f（x）0的解集为，12，3）。7. 设,函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（ ） A B C. D【答案】C【KS5U解析】，因为导函数是奇函数，所以，所以由，解得。8设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的乘积的值为（ ）A B C D 1【答案】B【KS5U解析】，所以曲线在点（1，1）处的切线方程为，所以，所以。9曲线：在点处的切线
4、恰好经过坐标原点，则曲线直线，轴围成的图形面积为（ ）A B C D【答案】D【KS5U解析】设，则曲线：在点处的切线为，因为切线恰好经过坐标原点，所以，所以切线为，所以曲线直线，轴围成的图形面积为。10. 已知，是的导函数，即，则 ( ) A B C D 【答案】A【KS5U解析】因为，所以，由此可以看出：。11. 下面四个判断中，正确的是() A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时式子值为1B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时式子值为1kC式子1(nN*)中，当n1时式子值为1D设f(x)(nN*)，则f(k1)f(k)【答案】C【KS5U解析】A式子1kk2kn(nN*)中，当n
5、1时式子值为1+k；B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时式子值为1；C式子1(nN*)中，当n1时式子值为1，正确。D设f(x)(nN*)，则f(k1)f(k)。12已知集合A3m2n|mn且m，nN，若将集合A中的数按从小到大排成数列an，则有a131203，a232209，a3322111，a43327，依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为() a1 a2a3 a4a5a6 A247 B735C733 D731 【答案】C【KS5U解析】该三角形数阵中，每一行所排的数成等差数列，因此前5行已经排了15个数，第六行第三个数是数列中的第18项，a1=31+20
6、=3，a2=32+20=9，a3=32+21=11，a4=33=27，a18=36+22=733，故选C二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）13函数在处的切线方程_ 【答案】【KS5U解析】，又，所以函数在处的切线方程。14.若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_【答案】a0【KS5U解析】因为曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，所以有正实数解，即有正实数解，结合图像可知实数a的取值范围是a0。15. 已知为一次函数，且，则=_.【答案】【KS5U解析】设，因为，所以，所以，所以。16. 下面是按照一定规律画出的一列“树型”图
7、：设第个图有个树枝，则与之间的关系是【答案】【KS5U解析】由图可知：a1=1，a2=3，a3=8，a4=18，所以。三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线 平行于直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标; 若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.18. （本小题满分12分）某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？19. （本小题满分12分） 由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等
8、式？并加以证明20（本小题满分12分）已知函数,函数当时,求函数的表达式;若,函数在上的最小值是2 ,求的值; 21. （本小题满分12分）设，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有.22. （本小题满分12分）已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；包头市第三十三中学2013-2014学年度第二学期试卷高二年级期中（）理科数学参考答案一、ACCBB ACBDA CC二、13 ： 14：a0； 15： 16: 三、17.解:由y=x3+x2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=1.当x=1时，y=0;当x=1时，y
9、=4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为 (1,4).5分直线,的斜率为4,直线l的斜率为,l过切点P0,点P0的坐标为 (1,4)直线l的方程为即10分18 19.解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：5分用数学归纳法证明如下：（1）当时，猜想成立；6分（2）假设当时，猜想成立，即，7分则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立.12分20. 解:,当时,; 当时,当时,; 当时,.当时,函数.6分由知当时,当时, 当且仅当时取等号8分函数在上的最小值是,依题意得;12分21解（）解：根据求导法则有，故，.3分于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值6（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有.1222. 解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是4（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是
