1、2017年北京市101中学高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A1BCD22执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A1B2C3D43设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）ABCD5已知F1，F2
2、是双曲线E：=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=，则E的离心率为（）ABCD26函数y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）ABCD7若ab1，0c1，则（）AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc8设AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，nN*，若b1c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.9已知等差数列an前9
3、项的和为27，a10=8，则a100=10在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为11直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为12在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交”发生的概率为13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=14若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已
4、知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立，求实数m的取值范围16在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值17一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200分）设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互
5、独立（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因18设函数f（x）=alnx+x2bx（a1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x01，使得f（x0），求a的取值范围19已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交
6、于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由20设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（m，n），记ri（A）为A的第行各数之和（1m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1jn）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2，2t+1），求K
7、（A）的最大值2017年北京市101中学高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A1BCD2【考点】复数求模【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解：（1+i）x=1+yi，x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B2执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A1B2C3D4【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结
8、构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B3设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q0”是“对
9、任意的正整数n，a2n1+a2n0”不一定成立，例如：当首项为2，q=时，各项为2，1，此时2+（1）=10， +（）=0；而“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的必要而不充分条件，故选：C4已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把、用、表示，再代入数量积公式计算即可【解答】解：如图所示，D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，=（），=+=+=+（）=；=（）=1211cos=故选：B5已知F1
10、，F2是双曲线E：=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=，则E的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sinMF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，MF1与x轴垂直，（2a+x）2=x2+4c2，x=sinMF2F1=，3x=2a+x，x=a，=a，a=b，c=a，e=故选：A6函数y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单
11、调性，利用排除法，可得答案【解答】解：f（x）=y=2x2e|x|，f（x）=2（x）2e|x|=2x2e|x|，故函数为偶函数，当x=2时，y=8e2（0，1），故排除A，B； 当x0，2时，f（x）=y=2x2ex，f（x）=4xex=0有解，故函数y=2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除C，故选：D7若ab1，0c1，则（）AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较【分析】根据已知中ab1，0c1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案【解答】解：ab1，0c1，函数f（x）=xc在（0，+）上
12、为增函数，故acbc，故A错误；函数f（x）=xc1在（0，+）上为减函数，故ac1bc1，故bacabc，即abcbac；故B错误；logac0，且logbc0，logab1，即=1，即logaclogbc故D错误；0logaclogbc，故blogacalogbc，即blogacalogbc，即alogbcblogac，故C正确；故选：C8设AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，nN*，若b1c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【考点】数列的函
13、数特性【分析】由an+1=an可知AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+12a1=（bn+cn2an），b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1cn+1=（cnbn），得bncn=，可知n+时bncn，据此可判断AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【解答】解：b1=2a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又b1c1a
14、1，2a1c1c1a1，2c1a1，c1，由题意，bn+1+cn+1=+an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an），bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，又由题意，bn+1cn+1=，bn+1（2a1bn+1）=a1bn，bn+1a1=（a1bn）=（b1a1）bn=a1+（b1a1），cn=2a1bn=a1（b1a1），=单调递增可得Sn单调递增故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.9已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=98【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式和前
15、n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100【解答】解：等差数列an前9项的和为27，a10=8，解得a1=1，d=1，a100=a1+99d=1+99=98故答案为：9810在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为112【考点】二项式系数的性质【分析】由题意可得：2n=256，解得n，利用通项公式即可得出【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8的通项公式为：Tr+1=（2）r令=0，解得r=2常数项=112故答案为：11211直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为【考点】参数方程化成普通方程【分析】直线（
16、t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcos+11=0，|AB|=|t1t2|=（t1+t2）24t1t2=10，即可得出结论【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcos+11=0t1+t2=12cos，t1t2=11|AB|=|t1t2|=（t1+t2）24t1t2=10，cos2=，tan=，直线AB的斜率为故答案为12在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交”发生的概率为【考点】几何概型【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率
17、公式可求出所求【解答】解：圆（x5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交，则3，解得k在区间1，1上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交相交的概率为=故答案为：13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=【考点】解三角形【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA=，sinC=，sinB=sin（A+C）=s
18、inAcosC+cosAsinC=+=，由正弦定理可得b=故答案为：14若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6【考点】集合的相等【分析】利用集合的相等关系，结合a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，即可得出结论【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个三、解答题：本大题共6小题
19、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围【解答】解：（1），f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinxcosx）=sin2xcos2x2sin（2x），令2k2x2k+（kZ），解得：+kx+k，所以：函数f（x
20、）的单调递增区间为：+k， +k（kZ）单调递减区间为+k， +k（kZ）（2）当时，2x，对任意tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立只需满足：mt2+mt+3f（x）max成立即可即mt2+mt+10即可当m=0时，恒成立当m0时，只需满足解得：0m4综合所得：0m416在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的
21、空间直角坐标系设直线AD与平面MBC所成角为，利用线面角的计算公式sin=|cos|=即可得出【解答】（1）证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD，又CD平面BCD，ABCD（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M=（0，1，1），=（1，1，0），=设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=1，则x=1，z=1=（1，1，1）设直线AD与平面MBC所成角为则sin=|cos|=17一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都
22、需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200分）设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布
23、列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可【解答】解：（1）X可能取值有200，10，20，100则P（X=200）=，P（X=10）=P（X=20）=，P（X=100）=，故分布列为： X200 10 20100 P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（200）+10+20100=这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少18设函数
24、f（x）=alnx+x2bx（a1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x01，使得f（x0），求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a1时，当a1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）f（x）=（x0），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，f（1）=a+（1a）1b=0，解得b=1（2）函数f（x）的定义域为（0，+），由（1）可知：f（x）=alnx+，=当a时，则，则当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，+）单调递
25、增，存在x01，使得f（x0）的充要条件是，即，解得；当a1时，则，则当x时，f（x）0，函数f（x）在上单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）在上单调递增存在x01，使得f（x0）的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去若a1时，f（1）=，成立综上可得：a的取值范围是19已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；
26、直线的斜率【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，则判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，则x1+x2=，则xM=，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM=，即kOMk=9，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（2）四边形OAPB能为平行四边形直
27、线l过点（，m），由判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，即6k0，则k0，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为xP，由得，即xP=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，当l的斜率为4或4+时，四边形OAPB能为平行四边形20设A是由m
28、n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（m，n），记ri（A）为A的第行各数之和（1m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1jn）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2，2t+1），求K（A）的最大值【考点】进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理【分析】（1）根据ri（A），C
29、j（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求（2）先用反证法证明k（A）1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足的A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1），然后证明是最大值即可【解答】解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=1.8K（A）=0.7（2）先用反证法证明k（A）1：若k（A）1则|c1（A）|=|a+1|=a+11，a0同理可
30、知b0，a+b0由题目所有数和为0即a+b+c=1c=1ab1与题目条件矛盾k（A）1易知当a=b=0时，k（A）=1存在k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为首先构造满足的A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1）：，经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，下面证明是最大值若不然，则存在一个数表AS（2，2t+1），使得由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x，2中由于x1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则gt，ht+1另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x）因此|r1（A）|=r1（A）t1+（t+1）（1x）=2t+1（t+1）x=x+（2t+1（t+2）x）x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾因此k（A）的最大值为2017年4月17日
