1、五、掌握“一模”“两路”“三角”“两难点”，破解天体运动问题一、一个模型行星卫星(或恒星行星)模型：行星作为中心天体，卫星绕行星做匀速圆周运动，两者之间的万有引力提供。抓牢解题本源向心力二、两条基本思路(1)对于绕中心天体运行的卫星：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即GMmr2mv2r mr42T2。(2)对于天体表面的物体：在忽略自转时，万有引力近似等于物体的重力，GMmR2(式中 R 为天体半径，g 为天体表面重力加速度)，可得 GMgR2(黄金代换式)。mr2mg三、三角等式关系四、两个难点1双星模型特点(1)向心力等大反向：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故
2、 F1F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。(2)周期、角速度相等：两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)半径与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上，且 r1r2，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。L2卫星的“变轨问题”分析卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和近心运动。当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即 GMmr2 mv2r 时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度大小发生变化时，轨道半径将发生变化。(1)速度突然增大时，GMmr2mv2r，卫星做运动。离心近心研透常考题根结合匀速圆周运动模型考查万有引力定律例 1(多选)地球同步卫星离地心
3、的距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，地球的第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则下列比例关系中正确的是()A.a1a2rR B.a1a2rR2C.v1v2rRD.v1v2Rr思路点拨 比较a1和a2 同步卫星与赤道上物体的角速度相同 据a2r分析比较v1和v2同步卫星与贴近地面的卫星皆由万有引力提供向心力 据vGMr 分析解析 设地球质量为 M，同步卫星的质量为 m1，在地球赤道上随地球自转的物体的质量为 m2，根据向心加速度和角速度的关系有 a112r，a222R，又 12，故a1a2rR，选项 A正确；由万有引力定律和牛顿第二定
4、律得 GMm1r2 m1v12r，GMmR2mv22R，解得v1v2Rr，选项 D 正确。答案 AD备考锦囊 两个向心加速度的比较卫星绕地球运行的向心加速度物体随地球自转的向心加速度产生原因由万有引力产生由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生方向指向地心垂直于地面且指向地轴大小 aGMr2(地面附近 a 近似等于 g)ar2，r 为地面上某点到地轴的距离，为地球自转的角速度(在赤道上 a0.034 m/s2)特点 随卫星到地心的距离的增大而减小从赤道到两极逐渐减小 即时训练有 a、b、c、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地
5、球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法中正确的是()Aa 的向心加速度等于重力加速度 gBc 在 4 h 内转过的圆心角是6C在相同时间内 b 转过的弧长最长Dd 的运行周期可能是 23 h解析：在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a 的向心加速度小于重力加速度 g，选项 A 错误；由于 c 为地球同步卫星，所以 c 的周期为 24 h，因此 4 h 内转过的圆心角为 3，选项 B 错误；由四颗卫星的运行情况可知，b 运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项 C 正确；d 运行的周期比 c 要长，所以其
6、周期应大于 24 h，选项 D 错误。答案：C 抓住两条基本思路，求解天体质量、密度例 2(多选)“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于2020 年登陆火星。假如某志愿者登上火星后将一小球从高为 h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间 t 小球落在火星表面，已知火星的半径为 R，引力常量为 G，不考虑火星自转，则下列说法正确的是()A火星的第一宇宙速度为2hRtB火星的质量为2h2RGt2C火星的平均密度为3h2RGt2D环绕火星表面运行的卫星的周期为 t2Rh解析 由自由落体运动规律，h12gt2，解得火星表面的重力加速度大小为 g2ht2，火星的第一宇宙速度 v1 gR 2hRt，A
7、 错误；由 GMmR2 mg，解得火星的质量为 M2hR2Gt2，B 错误；火星的平均密度为 MV2hR2Gt2 34R33h2RGt2，C 正确；设环绕火星表面运行的卫星的周期为 T，则 T2Rv1 t2Rh，D 正确。答案 CD备考锦囊 估算天体质量和密度时的三个易错点(1)不考虑自转时，有 GMmR2 mg，其中 g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转，则在两极上才有：GMmR2 mg，而赤道上则有 GMmR2 mgm42T自2R。(2)利用 GMmr2 m42T2 r 计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。(3)注意区分轨道半径 r 和中心天体的半径 R，计算
8、中心天体密度时应用 M43R3而不是 M43r3，但在中心天体表面附近绕行的卫星，可近似认为 Rr。即时训练(多选)(2017泰州一模)载人飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为 R0，飞船运行的轨道半径为 kR0，地球表面的重力加速度为 g0，则飞船运行的()A加速度是 k2g0B加速度是g0k2C角速度是g0k3R0D角速度是g0R0k解析：根据万有引力定律，万有引力提供向心力，则有：G mMkR02man；黄金代换公式：GMg0R02，联立解得：ang0k2，故 A 错误，B 正确；根据万有引力定律，万有引力提供向心力，则有：GMmkR02m2kR0，且 GMg0R02，解得：角速度
9、g0k3R0，故 C 正确，D 错误。答案：BC 结合卫星的发射考查卫星变轨问题例 3(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道 1，然后点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3相切于 P 点，如图所示，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，下列说法中正确的是()A卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率B卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度C卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2上经过 Q 点时的加速度D卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3
10、上经过 P 点时的加速度思路点拨 解析 对于卫星来说，万有引力提供向心力，有GMmr2mv2r mr2ma，得 vGMr，GMr3，aGMr2，又 r3r1，则 v3v1，3mv2r，卫星做近心运动，轨道半径将变小。因此，要使卫星的轨道半径减小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动。(2)加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即 F引mv2r，卫星做离心运动，轨道半径将变大。因此，要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动。即时训练(多选)(2017如皋市一模)我国“神舟”十一号载人飞船于2016 年 10 月 17 日 7 时 30 分发射成功。飞船先沿椭圆轨道飞
11、行，在接近 400 km 高空处与“天宫”二号对接，对接后视为做圆周运动。两名宇航员在空间实验室生活、工作了 30 天。“神舟”十一号载人飞船于 11 月 17 日 12 时 41 分与“天宫”二号成功实施分离，11 月 18 日顺利返回至着陆场。下列判断正确的是()A飞船变轨前后的机械能守恒B对接后飞船在圆轨道上运动的速度小于第一宇宙速度C宇航员在空间实验室内可以利用杠铃举重来锻炼身体D分离后飞船在原轨道上通过减速运动，再逐渐接近地球表面解析：每次变轨都需要发动机对飞船做功，故飞船机械能不守恒，故 A 错误；根据万有引力提供向心力 GMmr2 mv2r，得 vGMr，轨道高度越大，线速度越小
12、，第一宇宙速度是近地卫星的速度，是最大的运行速度，故对接后飞船在圆轨道上的线速度比第一宇宙速度小，故 B 正确；举重锻炼身体主要利用哑铃等物体的重力，在轨道舱中哑铃处于完全失重状态，它对人的胳膊没有压力的作用，故 C 错误；当飞船要离开原轨道返回地球时，飞船做近心运动，万有引力要大于向心力，故要减小速度，故 D 正确。答案：BD 狠抓“一模”“两路”，破解双星及多星问题例 4(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图
13、所示为某一双星系统，A 星球的质量为 m1，B 星球的质量为 m2，它们中心之间的距离为 L，引力常量为 G，则下列说法正确的是()AA 星球的轨道半径为 Rm1m1m2LBB 星球的轨道半径为 rm2m1LC双星运行的周期为 T2LLGm1m2D若近似认为 B 星球绕 A 星球中心做圆周运动，则 B 星球的运行周期为 T2LLGm1思路点拨(1)A、B 两星球相同的物理量有。(2)A 星球做匀速圆周运动的向心力表达式为：F 向。、TGm1m2L2解析 两星球之间的万有引力提供向心力，角速度相等，m12Rm22r，且 rRL，解得 rm1m1m2L，Rm2m1m2L，A、B 错误；由万有引力提
14、供向心力可得Gm1m2L2m22T2r，解得 T2LLGm1m2，C 正确；若近似认为 B 星球绕 A 星球中心做圆周运动，根据牛顿第二定律及万有引力定律有Gm1m2L2m22T2L，解得 T2LLGm1，D 正确。答案 CD备考锦囊 双星和多星问题的解题流程即时训练(多选)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为 m 的小星体和一个质量为 M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为 r。关于该三星系统的说法中正确的是()A在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧C小星体运行
15、的周期为 T4r32G4MmD大星体运行的周期为 T432G4Mm解析：该三星系统应该在同一直线上，并且两小星体在大星体相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一小星体的引力的合力提供做圆周运动的向心力。由 GMmr2Gm22r2mr2T2，解得小星体运行的周期 T4r32G4Mm。故B、C 正确。答案：BC 课余自查小练1(多选)我国是世界上第三个成功造访“日地拉格朗日点”的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的()A线速度大于地球的线速度B向心加速度大于地球的向心加速度C向心力仅
16、由太阳的引力提供D向心力仅由地球的引力提供解析：飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，相等，根据vr，知飞行器的线速度大于地球的线速度，A 正确；根据 a2r 知 B 正确；探测器的向心力由太阳和地球的万有引力的合力提供，C、D 错误。答案：AB 2(2017淮阴二模)高分四号卫星是我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星。如图所示，A 是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C 是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C 是高分四号卫星。则下列说法正确的是()A物体 A 随地球自转的角速度大于卫星 B 的角速度B卫星 B 的线速度大于卫星 C 的线速度C物体 A 随地
17、球自转的加速度大于卫星 C 的加速度D物体 A 随地球自转的周期大于卫星 C 的周期解析：根据 GMmr2 m2r，可知 GMr3，可知卫星 C 的角速度小于卫星 B 的角速度，而物体 A 的角速度等于卫星 C 的角速度，故物体 A 随地球自转的角速度小于卫星 B 的角速度，选项 A 错误；根据 GMmr2 mv2r，可知 vGMr，故卫星 B 的线速度大于卫星 C 的线速度，选项 B 正确；物体 A 和卫星 C的角速度相同，周期也相同，根据 a2r 可知，物体 A 随地球自转的加速度小于卫星 C 的加速度，选项 C、D 错误。答案：B 32017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与
18、天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A周期变大 B速率变大C动能变大D向心加速度变大解析：组合体比天宫二号质量大，轨道半径 R 不变，根据GMmR2mv2R，可得 vGMR，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又 T2Rv，则周期 T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度 aGMR2 不变，D 项错误。答案：C 4(多选)(2017咸阳三模)1772 年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文三体问题中指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳
19、和地球)所在同一平面上有 5 个特殊点，如图中的 L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日 L2点，下列说法正确的是()A该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等B该卫星在 L2点处于平衡状态C该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度D该卫星在 L2 点处所受太阳和地球引力的合力比在 L1点处大解析：该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球绕太阳运动周期相等，与地球自转周期没有关系，故 A错误；该卫星所受的合力为地球和太阳对它引力的合力，在 L2 点这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故 B 错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的轨道半径大，根据公式 a42T2 r 可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故 C 正确；该卫星在 L1、L2点处的周期相同，由前述分析知，半径越大，向心加速度越大，所以根据 Fma 可得，半径越大受到的合力越大，故 D 正确。答案：CD “专题跟踪检测”见“专题跟踪检测（五）”(单击进入电子文档)
