1、吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本大题共12
2、小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。UAB1设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（A）（B）（C）（D）2已知i为虚数单位，则（A）（B）（C）（D）3已知是第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）4已知实数满足，则目标函数的最大值为 （A）-4（B）1（C）2（D）35. 已知随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(3)0.023，则P(13)等于 （A）0.977 （B）0.954 （C）0.628 （D）0.4776等于（A）（B）（C）（D）OyxOyxOyx7现有三个函数：，的图象（部分）如下： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确
3、的一组是（A）（B）（C）（D） 8已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件可以是（A）（B）（C）（D）开始k=1 S=1S = 3S+2k = k+1否输出S结束是（第8题图）（第9题图）9一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A）20 （B）18 （C）（D）10边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（A）（B）（C）（D）
4、12若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”， 有下列四个命题：有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；曲线和曲线是“相关曲线”；当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（A）1（B）2 （C）3（D）4 第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二填空题：本大题共4个小题，每小题5分。13从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数为 .（用数字作答）14设是公比不为1的等比数列，其前n项
5、和为，若成等差数列，则 .15把函数图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为 .16已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若， 则PMN的面积的最大值为 .三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足.（）求B；（）若，设，求函数的解析式和最大值.18（本小题满分12分） 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:0.150.454.0 4.2 4
6、.4 4.6 4.8 5.0 5.2频率/组距视力（）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视年级名次1509511000近视4132不近视918根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（）在（）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150名的
7、学生人数为，求的分布列和数学期望.P(K2k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879附：19（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，正方形与梯形所在平面互相垂直，,，分别为和的中点.ABFEDCNM（）求证：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值.20（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的周长为. （）求椭圆C的方程；（）过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程.21（本小题满分12
8、分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对所有的0，都有，求的最小值； （）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.ABCEFD.O22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，在ABC中，以为直径的O交于，过点作O的切线交于，交O于点（）证明：是的中点；（）证明：.23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线C的极坐标方程为，点. 以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系斜率为的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点.（）求出曲线C的直角坐标方程和直线l
9、的参数方程；（）求点M到A，B两点的距离之积.24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数，.（）当时，若对任意恒成立，求实数b的取值范围；（）当时，求函数的最小值. 参考答案评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填
10、空题不给中间分一、选择题：每小题5分题号123456789101112答案BDACBDCCACDC二、填空题：每小题5分13.30 14. 5 15. 16.1三、解答题17.解：（）由已知及三角形面积公式和余弦定理得 2分，又 4分所以 5分 （）由（）知，ABC的内角和，又得 6分由正弦定理，知， 7分 8分所以 10分当，即时，取得最大值 12分18.解：（）设各组的频率为，由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故， 1分所以由得， 2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 3分故全年级视力在5.0以下的人数
11、约为 4分（） 6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分（）依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人， 8分可取0,1,2,3，X的分布列为X0123P11分X的数学期望 12分19.解：（）在梯形中，取CD中点H，连接BH，因为，所以四边形ADHB为正方形，又，所以，所以 2分又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD， 4分 ，又，故平面. 5分ABFEDCNMxyzH（）由（）知平面ABCD，所以DE,DA,DC两两垂直.以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则， 7分设为平面BMC的法向量，则，即可取， 9分 又，
12、所以 11分直线与平面所成的角的正弦值为 12分20解：（）依题意， 2分所以， 3分故椭圆C的方程为 4分（）设,直线l的方程为：，直线m的方程为依题意得则，可得，令， 5分由消去x，得， 6分则，把代入，整理，得 8分由 消去x，得， 9分则，把代入，整理，得 10分由消去，得，解得或或 11分故直线l的方程为：或或 12分21. 解：（） 的定义域为， 1分当时，当时， 2分所以函数在上单调递减，在单调递增. 3分（）设，则 因为0，故 5分（）当时，所以在单调递减，而，所以对所有的0，0，即； （）当时，若，则， 单调递增，而，所以当时，即； （）当时，所以在单调递增，而，所以对所有的
13、，即； 综上，的最小值为2. 8分（）由得，由得，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 9分由（）知时，即，. 10分法一：令，得，即 因为 11分所以 12分故 12分法二：下面用数学归纳法证明（1）当时，令代入，即得，不等式成立（2）假设时，不等式成立，即则时，令代入，得 即由（1）（2）可知不等式对任何都成立.故 12分22.解：（）证明：连接，因为为O的直径，所以，又，所以CB切O于点B，且ED切于O于点E，因此，2分，所以，得，因此，即是的中点 5分（）证明：连接BF，可知BF是ABE斜边上的高，可得ABEAFB于是有，即， 8分同理可证所以 10分23.解：（），由得所以即为曲线C的直角坐标方程； 2分点M的直角坐标为， 3分直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数） 5分（）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即， 7分，设A、B对应的参数分别为，则 8分 又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积 12分24解：（）当时， 1分，当且仅当时等号成立 4分实数b的取值范围是 5分（）（）当时， ， 7分当时， ； 8分当时，当且仅当等号成立； 9分故当时，函数取得最小值0. 10分
