1、昌平区20202021学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回.第一部分（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，所以.故选：C.2. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将选项中的函数逐一检验，可得答案【详解
2、】对于A，不是奇函数，错误；对于B，既是奇函数又在上是增函数，正确；对于C，不是奇函数，错误；对于D，在上是减函数，错误；故选：B3. 已知点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】因为，所以所以故选：C4. 函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于直线对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得出曲线关于直线对称的曲线方程，再由换元法求出函数的解析式.【详解】曲线关于直线对称的曲线为，即令，则，即故选：D【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是由同底的指数函数和对数函数关于直线对称，再由
3、换元法求出解析式.5. 已知矩形中，若，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题中条件，得到，再由平面向量的线性运算，用和表示出，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以.故选：B.6. 2020年11月5日11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别对五个专区作
4、标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术” 五个专区为、；从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：，共个基本事件；选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即专区），所对应的基本事件有：，共个基本事件；因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是.故选：C.7. 已知，则（ ）A. 3B. 4C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
5、【详解】， .故选：A.8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是90，100，样品数据分组为，.已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得出，对应的频率，再由净重小于94克的个数为36，求出样本容量，最后由，对应的频率得出答案.【详解】，对应的频率分别为：设样本容量为因为净重小于94克的个数为36，所以，解得则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为故选：D9. 已知四边形中，则
6、“”是“四边形是矩形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件，必要条件定义即可判断.【详解】解：充分性：在四边形中，则四边形为平行四边形，不一定是矩形；必要性：四边形是矩形，则一定有；故“”是“四边形是矩形”的必要而不充分条件.故选：B.10. 已知函数.若存在实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得；【详解】解：因，所
7、以在上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，所以，即，所以为方程的两不相等的非负实数根，所以，解得，即故选：A第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 已知命题，则为_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题的否定为：.故答案为：12. 已知函数，则函数在区间上的平均变化率为_【答案】12【解析】【分析】根据平均变化率的定义计算可得答案.【详解】由定义可知，平均变化率为.13. 已知，则的最小值为_ ，当取得最小值时的值为_ .【答案】 (1). (2). 【解析】分析】利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的
8、值【详解】，当且仅当时取等号故答案为：14. 已知向量，且与共线，则实数_ .【答案】【解析】【分析】先得出，再根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求出结果.【详解】因为向量，所以，又与共线，所以，解得.故答案为：15. 某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为_；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为_ .【答案】 (1). (2). 200【解析】【分析】根据75%分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层
9、抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.【详解】将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且，所以男生成绩的75%分位数为；设高一年级学生总数为n，因为用分层抽样方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以，解得，故答案为：；200.16. 已知函数（）若，则函数的零点是_；（）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的 ； ； 三个数中，为函数的包容数是_（填出所有正确答案的序号）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得；（）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由
10、指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断【详解】解：（）当，令，即或解得，故函数的零点为（）由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时， ，不满足题意；当时，由时，；由时，满足题意；当时，由时，；由时， ，满足题意综上可得函数的包容数是故答案为：；【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力三、解答题(本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知全集，或，.（I）当时，求，；（II）若，求实数a的取值范围.【答案】（I），或，；（II）或【解析】【分析】（I）利用集合的交并补
11、运算的定义求解即可；（II），即，列不等式可得实数a的取值范围详解】（I）当时，或，则，或，；（II），即则或，即实数a的取值范围是或18. 已知关于的方程有两个不等实根.（）求实数的取值范围；（）设方程的两个实根为，且，求实数的值；（）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）【答案】（）；（）；（）【解析】【分析】（）依题意，解得即可；（）利用韦达定理得到，再代入方程，解得即可；（）依题意找出合适的即可；【详解】解：（）因为方程有两个不相等实数根，所以，即，解得，即（）因为方程的两个实根为，所以，又，所以，解得或，又，所以（）当时，方程，解得，满足条件；19. 某班倡
12、议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.（直接写出结果）【答案】（）小时（）（）【解析】【分析】（）由表中数据计算平均数即可；（）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（）根据数据的离散程度结合方差的性质得出【详解】（）这个班级女生
13、在该周的平均锻炼时长为小时（）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为从中任选2人的所有情况为，共种，其中选到男生和女生各1人的共有种故选到男生和女生各1人的概率（）【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.20. 已知函数且.（1）试判断函数的奇偶性；（2）当时，求函数的值域；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）偶函数；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域为R，再由，可判断函数是奇偶性；（2）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域；（3）对任意，恒成立，等价于，分，和，分
14、别求得函数的最值，可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，又，所以函数是偶函数；（2）当时，因为，所以，所以函数的值域为；（3）对任意，恒成立，等价于，当，因为，所以，所以，解得，当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，综上得：实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.21. 已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.（1）当时，设，求；（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.【答案】（1）；（2）；证明见解析.【解析】【分析】（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.【详解】（1）；（2）证明：因为，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设则，当时，；当时，.所以【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况.
