1、专题突破练(7)概率、统计与其他知识的交汇一、选择题1(2019河北衡水中学测试)在区间1,5上随机地取一个数m，则方程4x2m2y21表示焦点在y轴上的椭圆的概率是()A B C D答案B解析由方程4x2m2y21，即1表示焦点在y轴上的椭圆，得，即m20，即ab，所以满足条件的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6个基本事件，所以所求的概率为P.故选D5(2020郑州摸底)从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,16
2、0,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5170.5 cm之间的概率约为()A B C D答案A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5170.5 cm之间的概率约为.6(2020惠州市高三第一次调研)关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机
3、写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计的值如果统计结果是m34，那么可以估计的值为()A. B C D答案B解析由题意，120个正实数对(x，y)中的x，y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为，则，故选B.7(2020贵阳摸底)已知点P(x，y)是约束条件表示的平面区域内的任意一点，如果点P(x，y)落在不等式xya0所表示的平面区域内的概率不小于，则实数a的取值范围为()A(，1 B(，1C1，
4、) D1，)答案C解析如图，满足约束条件的区域为BCD内部及边界(阴影部分)计算得D(0,2)，B(2,0)，C(6,6)，|OD|2，|OB|2，|BD|2.点C到直线BD的距离为5.得SBCD2510，当a1时，设直线xy10与BD，DC分别交于点E，F，则E，F(3,4)DE，点F到直线BD的距离为，得SDEF，此时.在BCD内部及边界(阴影部分)任取一点P(x，y)，若点P(x，y)落在不等式xya0所表示的平面区域内的概率不小于，则a1.故选C二、填空题8(2019成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲乙的概
5、率是_.答案解析乙的综合测评成绩为86,87,91,92,94，乙90，污损处可取数字0,1,2，9，共10种，而甲乙发生对应的数字有6,7,8,9，共4种，故甲乙的概率为.9(2019山东淄博三校联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：xay3，l2：bx6y3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(xm)2y2的内部，则实数m的取值范围是_答案m解析由l1l2得ab6且a6，b1，满足条件的(a，b)为(1,6)，(2,3)，(3,2)，而所有的(a，b)有6636种，P1，P2，22，解得m.10(2019衡阳
6、联考)如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是_答案解析由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积，从而所求概率为P.三、解答题11某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M85时，产品为一级品；当75M85时，产品为二级品；当70M75时，产品为三级品现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标
7、值分组75,80)80,85)85,90)90,95)频数10304020B配方的频数分布表指标值分组70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)频数510153040(1)从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的概率；(2)若这种新产品的利润率y与质量指标值M满足如下关系：y其中t，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？解(1)由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a，b，有3件为一级品，记为x，y，z，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如
8、下：(a，b，x)，(a，b，y)，(a，b，z)，(a，x，y)，(a，x，z)，(a，y，z)，(b，x，y)，(b，x，z)，(b，y，z)，(x，y，z)其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为.(2)由题知A配方生产的产品平均利润率为E(A)2t20.6t，B配方生产的产品平均利润率为E(B)1.3t20.7t，所以E(A)E(B)0.7t20.1t0.1t(7t1)，因为0t，所以E(A)E(B)，所以投资B配方的产品平均利润率较大12(2019河南郑州八校联考)某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份201320142015201620172018年份代
9、码t123456年产量y/万件6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据，求y关于t的线性回归方程 t；(2)若近几年该产品每件的价格v(单位：元)与年产量y满足的函数关系式为v4.50.3y，且每年该产品都能售完根据(1)中所建立的回归方程预测该工厂2019(t7)年该产品的年产量；当t(1t7)为何值时，该产品的年销售额S(单位：元)最大？附：对于一组数据(t1，y1)，(t2，y2)，(tn，yn)，其回归直线ybta的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解(1)由题意，得3.5，7， (ti)(yi)(2.5)(0.4)(1.5)(0.3)00.50.11.50.22.50.
10、42.8， (ti)2(2.5)2(1.5)2(0.5)20.521.522.5217.5.由，得0.16，由，得70.163.56.44，所以y关于t的线性回归方程为0.16t6.44.(2)由(1)知0.16t6.44，当t7时，0.1676.447.56，所以预测该工厂2019年该产品的年产量为7.56万件，当年产量为y时，年销售额S(4.50.3y)y104(0.3y24.5y)1040.3(y7.5)216.875104，由题知y6.6,6.7,7,7.1,7.2,7.4,7.56，所以当y7.56，即t7时，年销售额最大，即2019年的销售额最大13(2020杭州摸底) 某省医学部
11、门为了解某市医生对2019年5月810日在浙江杭州国际博览中心召开的“中国医师协会检验医师年会暨第十四届全国检验与临床学术会议”的关注度，从该市的医学部门中，年龄在30岁到55岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图在这100人中关注度分成“非常高”和“一般”，已知这100人中关注度“非常高”的人数与年龄的统计结果如表所示：年龄30,35)35,40)40,45)45,50)50,55关注度“非常高”的人数144172119关注度“非常高”的人数与年龄统计表(1)由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表，据此表，判断能否在
12、犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对此次会议的关注度存在差异？45岁以下45岁及以上总计非常高一般总计(3)按照分层抽样的方法从年龄在30,40)的人中任选6人，再从这6人中随机选2人，求至少有1人年龄在35,40)的概率附：参考公式：K2，nabcd.临界值表：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解(1)这100人年龄的平均数32.50.237.50.142.50.247.50.352.50.243.5.(2)由频率分布直方图和统计表可得，列联表如下：45岁以下45岁及以上总计非常高354075一般1
13、51025总计5050100K2的观测值k1.3333.841，不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对此次会议的关注度存在差异(3)设事件M为“至少有1人年龄在35,40)”年龄在30,35)的人数为0.04510020，年龄在35,40)的人数为0.02510010.按分层抽样的方法在这30人中任选6人，其中年龄在30,35)的有4人，设为A，B，C，D；年龄在35,40)的有2人，设为E，F.从这6人中随机选2人，所含的基本事件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15个，而事件M所含的基本事件有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，EF，共9个，事件M发生的概率P(M)0.6.
