1、椭圆的性质与应用一、 单选题1、（2019年高考北京卷理数）已知椭圆（ab0）的离心率为，则（ ）Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.2、（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三第一学期12月月考）ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 ( )AB（y0）CD（y0）【答案】D【解析】 所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D.3、（2019年高考全国卷理数）若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A2 B3 C4
2、 D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D4、（河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试）已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.5、（河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题）如图，设椭圆： 的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且，即=可
3、得e=故答案为： 6、（2018年高考全国理数）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ）AB CD【答案】D【解析】因为为等腰三角形，所以，由的斜率为可得，所以，由正弦定理得，所以，所以，故选D7、（2019年高考全国卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B8、（
4、2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由椭圆定义可知：，则，所以，因为，即，即.二、多选题9、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D的最小值为【答案】BC【解析】 ，则C的焦距为，.设（），则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.10、（2010栟茶中学期末）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是A当点不在轴上时，的周长是6B当点不在轴上时，面积的最大值为
5、C存在点，使D的取值范围是，【答案】【解析】：由椭圆方程可知，从而据椭圆定义，又，所以的周长是6，项正确设点，因为，则因为，则面积的最大值为，项正确由图可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大此时，又，则为正三角形，所以不存在点，使，项错误由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，项正确，故选：11、（2019秋漳州期末）设椭圆的左右焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是AB离心率C面积的最大值为D以线段为直径的圆与直线相切【答案】【解析】：由椭圆可知，所以左、右焦点为，根据椭圆的定义，故正确；离心率，故错误；所以面积的最大值为，故错误；由原点
6、到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；故选：12、（2020淄博一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则A当时，的面积为B不存在使为直角三角形C存在使四边形面积最大D存在，使的周长最大【答案】【解析】：如图所示：，对于选项：当时，的面积为，故选项正确；对于选项：当时，可以得出，当时，根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故选项错误；对于选项：根据椭圆的对称性可知，当时，四边形面积最大，故选项正确；对于选项：由椭圆的定义得，的周长，当过点时取等号，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，此时直线的方程为，但是，所以不存在，使的周长最大，故选项错误；故选：三、填空题
7、13、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，由及椭圆定义知，由余弦定理即可得，即，化简得，故或3（舍）即故答案为：14、（2019年高考全国卷理数）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为15、（2020浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记AOF1，BOF2的面积分别为S1，S2，
8、若S1：S27：5，则椭圆C离心率为_【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以将直线AB1方程，代入椭圆方程后，整理可得：（b2+8a2）y24b2cy+8b40，由韦达定理解得，三式联立，可解得离心率故答案为：16、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是_.【答案】【解析】依题意，所以，则，而，所以.由于，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.故答案为：17、（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_【答案】【解析】方法1
9、：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.18、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可设，线段中点为，且，可得为的重心，设，由重心坐标公式可得，即有的中点，可得，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.19、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两
10、点，且，延长交双曲线右支于点，若，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】取双曲线的右焦点,连接，延长交双曲线于，连接，（如图）由，可得四边形为矩形，设，由对称性可得：，即有，由双曲线的定义可得：，在直角三角形中，可得，由可得，即，代入可得：，化简可得：，即有故答案为：20、（2018年高考浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】【解析】设，由得，所以，因为，在椭圆上，所以，所以，所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值四、 解答题21、（2020浙江温州中学3月高考模拟）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （
11、I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.【解析】（I）由，得，则 化简整理，得； （）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离， 又，故. 再由（I），得，则. 又，故，即， 从而，即.22、（2020年高考全国卷理数）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）由题设得A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则，=（a，1）.由=
12、8得a21=8，即a=3.所以E的方程为+y2=1（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知3nb0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，故，设，则，故.由于的准线为，所以，而，故，代入得
13、，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.25、（2020年高考全国卷理数）已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积【解析】（1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，根据对称性可设，由题意知，由已知可得，直线BP的方程为，所以，因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线BP的方程得或8.所以点的坐标分别为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.26、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，2)，过点C作一
14、条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值【解析】（1）由解得或（舍去），又，又，椭圆E的方程为；（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，由得，=，=，直线BP的方程为，令解得，则，同理可得，=，为定值27、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.【解析】（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,所以,所以, 又,解得,所以椭圆的标准方程为（2）设点,则,联立,得,所以,因为为锐角,所以,所以, 解得或
