1、昌平区20152016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标
2、记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）抛物线的焦点到准线的距离为（A） （C） （C） （D）（2）过点且倾斜角为的直线方程为(A) ( B) ( C) ( D) （3）若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A) （B） (C) (D) （4）已知平面和直线，若，则“”是“”的(A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体中，点分别是面对角线的
3、中点，若则(A) ( B) ( C) ( D) （6）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(A) ( B) ( C) ( D) （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A) ( B) ( C) ( D) （8）从点向圆作切线，当切线长最短时的值为（A） （B） （C） （D）（9）已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为(A) (B) (C) (D) (10) 如图，在棱长为1的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为 (A) ( B) ( C) ( D) 第卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题，
4、则 (12) 已知，则_.(13)若直线与直线平行，则的值为_ . (14)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设 ， ，是的中点，则所成角的大小为_， _. (15)已知是抛物线上的一点，过点向其准线作垂线交于点，定点，则的最小值为_；此时点的坐标为_ .(16)已知直线若存在实数，使直线与曲线交于两点，且，则称曲线具有性质给定下列三条曲线方程： ； ； 其中，具有性质的曲线的序号是_ . 三、解答题(本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17）(本小题满分14分)已知圆.(I)求过点的圆的切线方程； (II)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值（18
5、）(本小题满分14分)在直平行六面体中，底面是菱形，.(I)求证：；(II)求证：；(III)求三棱锥的体积.（19）(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且经过点()求椭圆的标准方程；()如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），求证：为直角三角形（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，过的平面分别交于两点.（I）求证：；（II）若分别为的中点，求证：；求二面角的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线与直线相切，是抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，且.（I） 求的值；（II） 线段的垂直平分线与轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III
6、）求直线的斜率的取值范围.昌平区20152016学年第一学期高二年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)题号 1 2 3 4 5 6 78 9 10答案BADB DAADCC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （11） （12） （13）或 （14）； （15）； （16）三、解答题(本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17）（本小题满分14分）解：（I）圆的方程可化为，圆心，半径是. 2分当切线斜率存在时，设切线方程为，
7、即. 3分因为，所以. 6分当切线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切. 7分所以过点的圆的切线方程为或. 8分（II）因为弦的长为，所以点到直线的距离为. 10分即. 12分所以. 14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体中，设，连接. 因为， 所以四边形是平行四边形.所以. 1分 因为底面是菱形， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 2分 因为， 所以. 4分(II)因为， 所以. 5分 因为底面是棱形， 所以. 6分 因为， 所以. 7分 因为， 8分 所以. 9分(III)由题意可知，所以为三棱锥的高. 10分因为.所以三棱锥的体积为. 14分 (19)
8、（本小题满分14分）解：（）因为椭圆经过点，所以. 1分由，解得. 3分所以椭圆的标准方程为 4分（）若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件 5分若过点的直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，由可得. 7分设，则， 9分所以，. 11分因为，所以 所以,为直角三角形得证 14分 (20)（本小题满分14分）证明：（I）因为底面为直角梯形， 所以. 因为 所以. 2分 因为，所以. 4分（II）因为分别为的中点， 所以. 5分 因为 所以. 因为， 所以. 因为， 所以. 所以. 7分 因为， 所以 因为，所以. 9分如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系. 10
9、分 则. 11分由（II）可知，所以的法向量为. 12分设平面的法向量为因为，,所以.即.令，则，.所以所以. 所以二面角的余弦值为. 14分 (21)（本小题满分14分）解:（I）因为抛物线与直线相切， 所以由 得：有两个相等实根. 2分即得：为所求. 4分（II）法一：抛物线的准线.且，所以由定义得，则. 5分设直线的垂直平分线与轴的交点.由在的垂直平分线上，从而6分即.所以. 即 8分因为，所以.又因为，所以，所以点的坐标为.即直线的垂直平分线与轴的交点为定点. 10分法二：由可知直线的斜率存在，设直线的方程为. 由可得. 5分所以. 6分因为抛物线的准线.且，所以由定义得，则. 7分所以.设线段的中点为.则.所以. 8分所以线段的垂直平分线的方程为. 9分令，可得.即直线的垂直平分线与轴的交点为定点. 10分（III）法一：设直线的斜率为，由（II）可设直线方程为.设的中点，由.可得.因为直线过点，所以. 11分又因为点在抛物线的内部，所以. 12分即 ，则.因为，则. 13分所以的取值范围为. 14分 法二： 设直线的斜率为，则.由（II）可知.因为，即， 11分所以.所以.即.所以. 12分因为，则. 13分所以的取值范围为. 14分
