1、第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2016全国卷)已知 A 是椭圆 E：x24y231 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积.(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4.又 A(2，0)，因此直线 AM 的方
2、程为 yx2.将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0，解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449.(2)证明 将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24y231 得(34k2)x216k2x16k2120，由 x1(2)16k21234k2 得 x12（34k2）34k2，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x2)，故同理可得|AN|12k 1k23k24.由 2|AM|AN|，得234k2k3k24，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则
3、k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)上单调递增，又 f(3)15 3260，因此 f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点 k 在(3，2)内，所以 3kb0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.解(1)设 F(c，0)，由条件知2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：y
4、kx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将 ykx2 代入x24y21，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0.所以当OPQ的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2.探究提高 若得到的式子是分式形式，解题思路通
5、常是将分式变形，转化为利用基本不等式求最值，若分式函数的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值.注意出现复杂的式子时可用换元法.【训练 21】(2016武汉三模)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且点3，12 在椭圆C 上.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.()求|OQ|OP|的值；()求ABQ 面积的最大值.解(1)由
6、题意知 3a2 14b21.又 a2b2a 32，解得 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.()设 P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知 Q(x0，y0).因为x204y201，又（x0）216（y0）241，即24 x204y20 1，所以 2，即|OQ|OP|2.()设 A(x1，y1)，B(x2，y2).将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2，则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.因
7、为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB 的面积 S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k22（16k24m2）m214k224m214k2m214k2.设m214k2t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.由可知 0t1，因此 S2（4t）t2 t24t，故 S2 3，当且仅当 t1，即 m214k2 时取得最大值 2 3.由()知，ABQ 面积为 3S，所以ABQ 面积的最大值为 6 3.微题型2 求几何量、某个参数的取值范围【例 22】(2016浙江卷)如图，设抛物线 y22px(p0)
8、的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求M 的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得p21，即 p2.(2)由(1)得，抛物线方程为 y24x，F(1，0)，可设 A(t2，2t)，t0，t1.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1，消去 x 得 y24sy40.故 y1y24，所以
9、 B1t2，2t.又直线 AB 的斜率为 2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t.设 M(m，0)，由 A，M，N 三点共线得 2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m 2t2t21，所以 m0 或 m2.经检验，m0 或 m2 满足题意.综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，).探究提高 解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.(3)数形结合法：利用待求量的几
10、何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练 22】(2016东北三校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点 M1，32，其离心率为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l：ykxm(|k|12 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，以线段 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P 在椭圆 C 上，O 为坐标原点，求|OP|的取值范围.解(1)由已知可得 e2a2b2a214，所以 3a24b2.又点 M1，32在椭圆 C 上，所以 1a2 94b21.由以上两式联立，解得 a24，b23.故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)当 k0 时，P(0，2m)
11、在椭圆 C 上，解得 m 32，所以|OP|3.当 k0 时，由ykxm，x24y231，消去 y 并化简整理，得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0，设 A，B，P 点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则 x0 x1x2 8km34k2，y0y1y2k(x1x2)2m 6m34k2.由于点 P 在椭圆 C 上，所以x204y2031.从而16k2m2（34k2）212m2（34k2）21，化简得 4m234k2.所以|OP|x20y2064k2m2（34k2）236m2（34k2）24m2（16k29）
12、（34k2）216k294k23 434k23.因为 0|k|12，所以 34k234，即3434k231.故 3|OP|132.综上，所求|OP|的取值范围是3，132.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
