1、第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟 1.(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C.2 D.3解析 由余弦定理，得 5b2222b223，解得 b3b13舍去，故选 D.答
2、案 D 2.(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _.解析 由题意，得 cos4 45，tan4 tan42sin42cos42cos4sin443.答案 433.(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C 513，a1，则 b_.解析 在ABC 中由 cos A45，cos C 513，可得 sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A 2113.答案 21134.(2016浙江卷)在ABC 中，
3、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若 cos B23，求 cos C 的值.(1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB).又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB，因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B.(2)解 由 cos B23及 B 是ABC 一内角得 sin B 53，cos 2B2cos2B119，故 cos A19，又 A 是ABC 一内角，所
4、以 sin A4 59，故 cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B2227.考 点 整 合 1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，sin cos tan.(2)诱导公式：对于“k2，kZ 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin；cos()cos cos sin sin ；tan()tan tan 1tan tan .(4)二倍角公式：sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2.2.正、余弦定理、三
5、角形面积公式(1)asin A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R为ABC 外接圆的半径).变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin A sin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab；变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABC12absi
6、n C12acsin B12bcsin A.热点一 三角恒等变换及应用 微题型1 求 值【例 11】(1)(2016全国卷)若 tan 13，则 cos 2()A.45B.15C.15D.45(2)(2016成都模拟)sin()53 且，32，则 sin22()A.63B.66C.66D.63(3)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_.解析(1)tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.(2)sin()sin 53，又，32，cos 1sin21 53223.由 cos 2cos221，22，34，得 cos
7、 2cos 12 66.所以 sin22 cos 2 66.(3)sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2，又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21，原式2（2）1（2）21 1.答案(1)D(2)B(3)1 探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避
8、免产生增解.微题型2 求 角【例 12】(2016中山模拟)已知 cos(2)1114，sin(2)4 37，042，则 _.解析 因为 cos(2)1114，且42，所以 sin(2)5 314.因为 sin(2)4 37，且422.所以 cos(2)17，所以 cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)1114175 314 4 37 12.又434，所以 3.答案 3探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.【训练
9、 1】(1)已知 sin 223，则 cos24()A.16B.13C.12D.23(2)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2 等于()A.43B.34C.34D.43解析(1)法一 cos24 121cos2212(1sin 2)16.法二 cos4 22 cos 22 sin.所以 cos24 12(cos sin)212(12sin cos)12(1sin 2)16.(2)sin 2cos 102，sin2 4sin cos 4cos252.用降幂公式化简得 4sin 23cos 2，tan 2sin 2cos 234.故选 C.答案(1)A(2)C 热点二 正、余弦定理的
10、应用 微题型1 三角形基本量的求解【例 21】(2016四川卷)在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且cos Aacos Bbsin Cc.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2c2a265bc，求 tan B.(1)证明 根据正弦定理，可设 asin A bsin Bcsin Ck(k0).则 aksin A，bksin B，cksin C.代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksin Acos Bksin B sin Cksin C，变形可得：sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC 中
11、，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C，所以 sin Asin Bsin C.(2)解 由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35.又 0A，所以 sin A 1cos2A45.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以45sin B45cos B35sin B，故 tan Bsin Bcos B4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一
12、般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.微题型2 求解三角形中的最值问题【例 22】(2016郑州模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 acos C 3asin Cbc0.(1)求 A；(2)若 a2，求ABC 面积的最大值.解(1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0.因为 BAC，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知 sin C0，所以
13、 3sin Acos A1，所以 sinA6 12.又 0A，所以 A3.(2)法一 由(1)得 BC23 C23 B0B23，由正弦定理得 asin A bsin Bcsin C2sin 3 43，所以 b 43sin B，c 43sin C.所以 SABC12bcsin A12 43sin B 43sin Csin 34 33 sin Bsin C4 33 sin Bsin23 B 4 33 32 sin Bcos B12sin2Bsin 2B 33 cos 2B 33 2 33 sin2B6 33.易知62B676，故当 2B62，即 B3时，SABC 取得最大值，最大值为2 33 33
14、 3.法二 由(1)知 A3，又 a2，由余弦定理得 22b2c22bccos 3，即 b2c2bc4bc4b2c22bcbc4，当且仅当 bc2时，等号成立.所以 SABC12bcsin A12 32 bc 34 4 3，即当 bc2 时，SABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将待求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将待求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.微题型3 解三角形与三角函数的综合问题【例 23】(2016成都诊断)已知向量 m(2sin x，cos2xsin2x)，n(3cos x，1)，其中
15、0，xR.若函数f(x)mn 的最小正周期为.(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BABC的值.解(1)f(x)mn2 3sin xcos xcos2xsin2x 3sin 2xcos 2x2sin2x6.f(x)的最小正周期为，T 22|.0，1.(2)设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.f(B)2，2sin2B6 2，即 sin2B6 1，解得 B23(B(0，).BC 3，a 3，sin B 3sin A，b 3a，b3.由正弦定理，有3sin A3sin 23，解得 sin A12.0A3，A6.C6，ca 3.
16、BABCcacos B 3 3cos 23 32.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练 2】(2016衡水大联考)在ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 accos B3asin(AB).(1)若ba 3，求角 C；(2)在(1)的条件下，若ABC 的面积为 3，求 c 的值.解(1)accos B3asin(AB)，又 asin A bsin Bcsin C，sin Asin Ccos B3sin Asin C，即 sin(BC)sin Ccos B3
17、sin Asin C，sin Bcos Ccos Bsin Csin Ccos B3sin Asin C.故 sin Bcos C3sin Asin C，sin B3sin Atan C，又ba 3，tan C sin B3sin A b3a 33，又0C，C6.(2)SABC12absin C 3，由(1)知ba 3，C6，34 a2 3，a2，b 3a2 3，由余弦定理得 c2a2b22abcos C，即 c2412222 3 32 4，c2.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的
18、变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择 S12absin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.
