1、2017年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1若集合A=，则AB=（）A0，1）B（1，+）C（1，1）2，+）D2已知双曲线=1的一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD3若函数y=f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则fA2017B0C1D20174某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）ABCD5若a，bR，则“”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2bc=2acosC，sinC=，
2、则ABC的面积为（）ABC或D或7已知函数f（x）=x（1+a|x|）（aR），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）ABCD8已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A270x1B270xC405x3D243x59已知0，），若对任意的x1，0不等式x2cos+（x+1）2sin+x2+x0恒成立，则实数的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）10已知共面向量，满足|=3， +=2，且|=|若对每一个确定的向量，记|t|（tR）的最小值dmin，则当变化时，dmin的最大值为（）AB2C4D6二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，
3、单空题每题4分，共36分.11已知复数的实部为1，则a=，|z|=12已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa则变量X的数学期望E（X）=，方差D（X）=13已知数列an的前m（m4）项是公差为2的等差数列，从第m1项起，am1，am，am+1，成公比为2的等比数列若a1=2，则m=，an的前6项和S6=14已知，则log2b=，满足logab1的实数x的取值范围是15如图，过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若=4，则=16某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能
4、安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种（结果用数字表示）17如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积）三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）=，令，求函数g（x）的值域19如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=
5、2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角AEFC的余弦值为（1）求证：ACEF；（2）求直线AD与平面ECDF所成角的大小20已知函数（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0，b1时，求证：对任意的实数x0，2，恒成立21如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OMAB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围22已知数列an满足：（1）求证：；（2）求证：2017年浙江省台州
6、市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1若集合A=，则AB=（）A0，1）B（1，+）C（1，1）2，+）D【考点】1D：并集及其运算【分析】求出集合B中元素的范围，确定出集合B，找出A与B的并集即可【解答】解：集合A=（1，1），B=2，+），则AB=（1，1）2，+），故选：C2已知双曲线=1的一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得=，解可得a的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双
7、曲线的方程为=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=x，又由题意，该双曲线的一条渐近线方程是y=x，则有=，解可得a=，又由b=1，则c=2，则该双曲线的离心率e=，故选：D3若函数y=f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则fA2017B0C1D2017【考点】3Q：函数的周期性【分析】利用函数的周期性和奇函数的性质求解【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，f（1）=f（1），f（1）=f（1）=f（1），f（1）=f（1）=0，f=0故选：B4某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分
8、析】由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积【解答】解：由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积为=，故选A5若a，bR，则“”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a，bR，a2+ab+b2=+b20，当且仅当a=b=0时取等号可得0（ab）ab0，“”【解答】解：a，bR，a2+ab+b2=+b20，当且仅当a=b=0时取等号0（ab）ab0，“”“”是“0”的充要条件故选：C6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2bc=2aco
9、sC，sinC=，则ABC的面积为（）ABC或D或【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】2bc=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=，可得C=60或120，分类讨论，可得三角形面积【解答】解：2bc=2acosC，由正弦定理可得2sinBsinC=2sinAcosC，2sin（A+C）sinC=2sinAcosC，2cosAsinC=sinC，cosA=A=30，sinC=，C=60或120A=30，C=60，B=90，a=1，ABC的面积为=，A=30，C=120，B=30，a=1，ABC的面积为=，故选：C7已知函数f（x）=x（1+a|x|）（aR），则在同一个坐标系下函数f
10、（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】去绝对值化简f（x）解析式，对a进行讨论，根据二次函数的性质判断f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象【解答】解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=， （1）若a0，则当x0时，对称轴为x=0，开口向上，x0时，对称轴为x=0，开口向下，f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，此时函数图象为B，（2）若a0，则当x0时，对称轴为x=0，开口向下，x0时，对称轴为x=0，开口向上，f（x）在（0，+）上先减后增，在（
11、，0）先减后增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，此时函数图象为A或C，故选D8已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A270x1B270xC405x3D243x5【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据展开式中各项系数和求出a的值，利用展开式的通项求出r=2时该二项式展开式中系数最大的项【解答】解：的展开式中各项系数的和为32，（a1）5=32，解得a=3；展开式的通项为Tr+1=（3x）5r=（1）r35rx52r，又当r=0时，35=243；当r=2时，33=270；当r=4时，3=15；r=2时该二项式展开式中系数最大的项为2
12、70x故选：B9已知0，），若对任意的x1，0不等式x2cos+（x+1）2sin+x2+x0恒成立，则实数的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到的取值范围即可【解答】解：设f（x）=x2cos+（x+1）2sin+x2+x=（1+sin+cos）x2+（2sin+1）x+sin，0，），1+cos+sin0，且其对称轴为x=f（x）在1，0的最小值为f（0）或f（1）或f（），即故选：A10已知共面向量，满足|=3， +=2，且|=|若对每一个确定的向量，记|t|（tR）的
13、最小值dmin，则当变化时，dmin的最大值为（）AB2C4D6【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形的面积公式以及平行四边形的性质可得b2+2c2=36，即可得到d=c，利用基本不等式即可求出最值【解答】解：如图，设=， =， =，+=2，M为BD的中点，SABD=3d2=3d，|=|，AD=BD，设AB=c，AD=b，在ABCD中，2（AB）2+（AC）2=AC2+BD2，b2+2c2=36，SABD=c=c，将代入可得，SABD=c=c，3d=c，d=c=2，当且仅当c2=8时，取等号，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分
14、，共36分.11已知复数的实部为1，则a=1，|z|=【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为1求得a值，再由复数模的求法求得|z|【解答】解：z=的实部为1，a=1，则z=1i，|z|=故答案为：1，12已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa则变量X的数学期望E（X）=1，方差D（X）=【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】先根据概率的和为1求得a的值，再根据期望公式，方差的定义求出对应值【解答】解：根据概率和为1，得a+=1，解得a=；变量X的数学期望E（X）=0+1+2=1，方差D（X）=（01）2+（11）2+（21）2=故答案为
15、：1，13已知数列an的前m（m4）项是公差为2的等差数列，从第m1项起，am1，am，am+1，成公比为2的等比数列若a1=2，则m=4，an的前6项和S6=28【考点】8E：数列的求和【分析】由已知利用等差数列的通项公式求出am1，am，再由等比数列的定义求得m；然后求出数列前6项可得S6【解答】解：由a1=2，公差d=2，得am1=2+2（m2）=2m6，am=2+2（m1）=2m4，则，m=4；S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=2+0+2+4+8+16=28故答案为：4，2814已知，则log2b=，满足logab1的实数x的取值范围是【考点】4H：对数的运算性质【分析】b=，
16、即可得出log2b，logab=1，解出即可得出【解答】解：b=，log2b=，logab=1，x0，或满足logab1的实数x的取值范围是故答案为：，15如图，过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若=4，则=【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，利用相似三角形计算BB1，AA1即可得出AB=AA1+BB1【解答】解：分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB1，AF=AA1，=4，BF=BB1=CF=4FB=6，cosDFC=，cosA1AC=
17、，解得AF=3，AB=AF+BF=3+=故答案为：16某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有1296种（结果用数字表示）【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，、若第8节安排选修课，、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文
18、、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31=3种排法；对第8节课分情况讨论：、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有C42=6种情况，此时有246=144种安排方法；、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42=12种情况，此时有2412=288种情况，则后面7节课有144+288=432种安排方法；则所有不同的排法共有
19、3432=1296种；故答案为：129617如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，通过取特殊点找到P的轨迹，再由圆的面积公式得答案【解答】解：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|=，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上，当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|=，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接
20、P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹为L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）=，令，求函数g（x）的值域【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】（1）P点坐标化为（cos，sin），故Q点坐标（cos（），sin（），利用和角公式计算即可；（2）用三角恒等变换化简f（x）的解析式，得出g（x）的解析式，根据
21、正弦函数的性质得出g（x）的值域【解答】解：（1）P（cos，sin），cos（）=，sin（）=+=，点Q的坐标为（2）f（x）=cos（+x）+sin（+x）=，g（x）=cosxcos（x+）=cos2xsinxcosx=sin2x=sin（2x）因，故g（x）的值域为19如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角AEFC的余弦值为（1）求证：ACEF；（2）求直线AD与平面ECDF所成角的大小【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连接AC交EF于M点
22、，由平面几何知识可得，以及，经过计算可得：AM2+MF2=AF2，则ACEF，再利用线面垂直的判定与性质即可证明（2）由（1）知，二面角AEFC的平面角就是AMC，即，根据余弦定理，可求得AC=1，利用AC2+MC2=AM2，可得ACMC，可知AC平面ECDF，即可得出ADC就是直线AD与平面ECDF所成的角【解答】（1）证明：连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得，以及，则有，故有AM2+MF2=AF2，则ACEF，于是，AMEF，CMEF，而AMCM=M，故EF平面AMC，而AC平面AMC，故ACEF（2）解：由（1）知，二面角AEFC的平面角就是AMC，即，根据余弦定理，可求得AC=1
23、，因为AC2+MC2=AM2，所以ACMC，而ACEF，可知AC平面ECDF，因此，ADC就是直线AD与平面ECDF所成的角由于AC=CD=1，故直线AD与平面ECDF所成的角为20已知函数（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0，b1时，求证：对任意的实数x0，2，恒成立【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出关于a，b的不等式组，令z=3a+b，问题转化为简单的线性规划问题；结合图象求出即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的范围，要证，只需证即可【解答】（1）解：f（x）=x2+ax+b，由已知
24、可得f（x）=0在（0，2）上存在两个不同的零点，故有，即，令z=3a+b，如图所示：由图可知8z0，故3a+b的取值范围（8，0）（2）证明：，所以f（x）=x2+b，当b0时，f（x）0在0，2上恒成立，则f（x）在0，2上单调递增，故，所以；当1b0时，由f（x）=0，解得，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以因为，要证，只需证，即证，因为1b0，所以，所以成立综上所述，对任意的实数恒成立21如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OMAB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段
25、PM长度的取值范围【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意，可设AB：y=kx+m与椭圆方程联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，利用一元二次方程的根与系数的关系可得：|AB|=|x1x2|=又由OAOB，知，代入化简解出即可得出（2）设直线AB：y=kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m24k2=4消去m，k可得：点M的轨迹方程为可得即可得出【解答】解：（1）由题意，可设AB：y=kx+m由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，于是，（*）则|AB|=|x1x2|=又由OAOB，知，即，将（*）代入化简得5m24k2=4，所以；（2）若设直线A
26、B：y=kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m24k2=4（*）由，得，再代入y=kx+m，得，代入（*），有，即5（y2+x2）2=4y2+4x2，因y2+x20，故有当直线AB的斜率为0或不存在时，显然符合故点M的轨迹方程为所以，而|OP|的最大值为a=2，最小值为b=1，所以，|PM|的取值范围为22已知数列an满足：（1）求证：；（2）求证：【考点】8H：数列递推式【分析】（1）由，可得，即可证明（2）利用反证法：假设存在，由（1）可得当nN时，anaN+11，根据，而an1，可得于是，累加可得，由（1）可得aN+n10，可得矛盾【解答】证明：（1）由，所以，因为，所以an+2an+12（2）假设存在，由（1）可得当nN时，anaN+11，根据，而an1，所以于是，累加可得（*）由（1）可得aN+n10，而当时，显然有，因此有，这显然与（*）矛盾，所以2017年5月22日
