1、四复数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.如果全集U是复数集,那么()A.UQ=无理数B.R(UR)=0C.UZ=分数D.UR=虚数【解析】选D.实数集与虚数集的并集等于全集U,且实数集与虚数集的交集等于空集.2.已知x是方程x2=-1的根,则1+x=()A.1+iB.1-iC.1iD.0【解析】选C.由x2=-1,可知x=i,所以1+x=1i.3.若xi-i2=y+2i,x,yR,则复数x+yi=()A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+
2、xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.4.(2020浙江高考)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为()A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i的实部为3,虚部为-4,故所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是()A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若aR,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则
3、、i都是虚数,A、B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若aR,则a2+11,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),若z0,则k的值为_.【解题指南】由复数是负数,得虚部为0,实部为负数,可以求k的值.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),若z0,则k2-5k+6=0,k2-3k0,解得k=2,k=3(舍去).答案:28.已知复数z=cos +isin ,0,2,若z为纯虚数,则=_.【解析】由复数z=cos +isin ,0,2为纯虚数,得cos =0,sin 0,0,2,
4、所以=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知复数z=+i(mR)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i(mR)是虚数,所以,解得m1且m-2.所以实数m的取值范围是(-,-2)(-2,0)(1,+).10.当x取何值时,复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i,(xR)(1)是实数?(2)是纯虚数?(3)对应的点在第四象限?【解析】(1)当z是实数时,x2-3x+2=0,解得x=1或x=2;(2)当z是纯虚数时,解得x=-2;(3)当对应的点在第四象限时,则有1x2,所以x的取值范围为1xb,则a+ib+i;若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.
5、2D.3【解析】选A.由于x,yC,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,是假命题.由于两个虚数不能比较大小,所以是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以是假命题.二、填空题(每小题4分,共16分)5.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于其他三个的一个复数是_.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i26.若复数z=(a+1)+(1-a)i(aR)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是_.【解析】由a+10,1-a0,解得-1a1.答案:(-1,1)7.已知z1=+i,z2=cos +i
6、sin ,且z1=z2,则-的值为_.【解析】由复数相等的充要条件,知即2+2得2-2(cos cos +sin sin )=1,即2-2cos(-)=1,所以cos(-)=.所以-=+2k,kZ.答案:+2k,kZ8.下列命题中:两个虚数不能比较大小;若z=a+bi(a,bR),则当且仅当a=0且b0时,z为纯虚数;(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数为_.【解析】两个虚数可以相等,但不可以比较大小,正确;根据纯虚数的概念,正确;若z1=i,z2=0,z3=1,满足条件等式,而不满足z1=z2=z3,不
7、正确;若实数a=0时,ai=0,不是纯虚数,不正确.所以正确命题的个数为2.答案:2三、解答题(共38分)9.(12分)已知关于x,y的方程组有实数解,求实数a,b的值.【解析】设(x0,y0)是方程组的实数解,由已知及复数相等的意义,得由得代入得所以实数a,b的值分别为1,2.10.(12分)已知集合M=(a+3)+(b2-1)i,8,集合N=3i,(a2-1)+(b+2)i满足MN,求整数a,b.【解析】依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,或8=(a2-1)+(b+2)i,或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.由得a=-3,b=2,由得a=3,b=-2.中,a,b无整数解不符合题意.综上所述得a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=-2.11.(14分)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.
