1、课后限时集训 56 双曲线 建议用时：45 分钟 一、选择题 1(2019浙江高考)渐进线方程为 xy0 的双曲线的离心率是()A.22 B1 C.2 D2 C 根据渐进线方程为 xy0 的双曲线，可得 ab，所以 c 2a 则该双曲线的离心率为 eca 2，故选 C.2若实数 k 满足 0k9，则曲线x225 y29k1 与曲线x225ky291 的()A离心率相等 B虚半轴长相等 C实半轴长相等 D焦距相等 D 由0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由 259k 25k9，得两双曲线的焦距相等 3(2019天津高考)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线
2、x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为()A 2 B 3 C2 D 5 D l 的方程为 x1，双曲线的渐近线方程为 ybax，故得 A1，ba，B1，ba，所以|AB 2ba，2ba 4，b2a，所以 eca a2b2a 5，故选 D.4已知点 A(1,0)，B(1,0)为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，点 M 在双曲线上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则该双曲线的标准方程为()Ax2y241 Bx2y231 Cx2y221 Dx2y21 D 由题意知 a1.不妨设点 M 在第
3、一象限，则由题意有|AB|BM|2，ABM120.过点 M 作 MNx 轴于点 N，则|BN|1，|MN|3，所以 M(2，3)，代入双曲线方程得 43b21，解得 b1，所以双曲线的方程为 x2y21，故选 D.5已知ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 内切圆的圆心在直线 x2 上，则顶点C 的轨迹方程是()A.x24y2211(x2)By24x2211(y2)C.x221y241 Dy24x221 A 如图，ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.|AG|AE|7，|BF|BG|3，|CE|CF|，所以|CA|CB|734.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实
4、轴长为 4 的双曲线的右支，方程为x24y2211(x2)6(2019福州模拟)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx By 2x Cy 3x Dy2x A 由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 4b2c2 3b2a2，又 4 条直线分别与两条渐近线平行，所以ba 3b2a2a2b2，解得 ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 yx，
5、故选 A.7已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在双曲线 C 上，若AF1F2的周长为 10a，则AF1F2的面积为()A2 15a2 B 15a2 C30a2 D15a2 B 由双曲线的对称性不妨设 A 在双曲线的右支上，由 eca2，得 c2a，AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周长为 10a，|AF1|AF2|6a，又|AF1|AF2|2a，|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，cos F1AF2|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF1|AF
6、2|4a22a24a224a2a14.又 0F1AF0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为(5，0)，则 a_；b_.1 2 由 2xy0，得 y2x，所以ba2.又 c 5，a2b2c2，解得 a1，b2.9若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，10)，则该双曲线的标准方程为_ x26y261 依题意，e 2ab.设方程为x2my2m1，则16m 10m 1，解得 m6.x26y261.10设双曲线 x2y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_(2 7，8)如图，由已知可得 a1
7、，b 3，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设 P 在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足 m2m242，42m2m2，解得1 7m3，又|PF1|PF2|2m2，2 72m20，b0)，它的焦点(c,0)到渐近线 bxay0 的距离为|bc|b2a2b.双曲线 x28m y24m1，即 x28m y2m41，其焦点在 x 轴上，则 8m0，m40，解得 4m0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF2，O 为坐标原点，若 SOMF216，则双曲线的实轴长是_ 16 由题意知 F2(c
8、,0)，不妨令点 M 在渐近线 ybax 上，由题意可知|F2M|bca2b2b，所以|OM|c2b2a.由 SOMF216，可得12ab16，即 ab32，又 a2b2c2，ca 52，所以 a8，b4，c4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.1已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线 N：x2m2y2n21.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 31 2 设椭圆的右焦点为 F(c,0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A，由题意可知 Ac2，3c2
9、，由点 A 在椭圆 M 上得，c24a23c24b21，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，4a48a2c2c40，e4椭8e2椭40，e2椭42 3，e 椭 31(舍去)或 e 椭 31，椭圆 M 的离心率为 31.双曲线的渐近线过点 Ac2，3c2，渐近线方程为 y 3x，nm 3，故双曲线的离心率 e 双m2n2m22.2已知椭圆x24y2m1 与双曲线 x2y2n1 的离心率分别为 e1，e2，且有公共的焦点 F1，F2，则 4e21e22_，若 P 为两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|_.0 3 由题意得椭圆的半焦距满足 c214m，双曲线的半焦距满足 c221n，又因为两曲线有相同的焦点，所以 4m1n，即 mn3，则 4e21e2244m4(1n)3(mn)0.不妨设 F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点 P 为两曲线在第一象限的交点，则|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.解得|PF1|3，|PF2|1，则|PF1|PF2|3.
