1、专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1若f(cosx)cos2x，则f(sin15)()A B C D答案C解析f(sin15)f(cos75)cos150cos30.故选C2点P从(2,0)点出发，沿圆x2y24按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A(1，) B(，1)C(1，) D(，1)答案A解析弧长所对的圆心角为，设点Q的坐标为(x，y)，x2cos1，y2sin.故选A3有四个关于三角函数的命题：p1：x0R，sin2cos2；p2：x0，y0R，sin(x0y0)sinx0siny0；p3：x0，, sinx；p4：sinxcosyxy.其中是假命题的
2、是()Ap1，p4 Bp2，p4 Cp1，p3 Dp3，p4答案A解析p1是假命题，xR，sin2cos21；p2是真命题，如x0y00时成立；p3是真命题，x0，sinx0， |sinx|sinx；p4是假命题，如x，y2时，sinxcosy，但xy.故选A4(2020成都高三摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C若向量m(a，cosA)，n(cosC，bc)，且mn0，则角A的大小为()A B C D答案B解析解法一：由mn0，得acosCcosA(bc)0，由正弦定理，得sinAcosCcosA(sinBsinC)0，即sinAcosCcosAsinCsinBcosA，所以
3、sin(AC)sinBcosA，所以sin(B)sinBcosA，即sinBsinBcosA因为0B0，所以cosA，所以A，故选B解法二：由mn0，得acosCcosA(bc)0，由余弦定理，得abcosAc0，即bbcosA，所以cosA，所以A，故选B5(2019福州五校联考二)已知a2，b(2log23)，ccos50cos10cos140sin170，则实数a，b，c的大小关系是()Aacb BbacCabc Dcba答案C解析因为a2，b(2log23)3，所以ab，排除B，D；ccos50cos10cos140sin170sin40cos10cos40sin10sin30，所以b
4、c，所以abC选C6(2019河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则sincos()A BC D答案A解析设直角三角形中较小的直角边长为a，则a2(a2)2102，解得a6，所以sin，cos，sincoscoscossincossin.故选A7(2019河南十所名校测试)已知函数f(x)2sin(0)的两个极值点为，且|min，则函数f(x)在上的最大值为()A B1 C D2答案D解析由题意，得f(x)的最小正周期为
5、T，所以2，即f(x)2sin，因为x，所以2x，所以f(x)在上的最大值为2.故选D8(2019江西吉安模拟)已知函数f(x)则函数g(x)sin的一个单调递增区间为()A BC D答案A解析fffcos，g(x)sinsincos2x，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，可得g(x)的单调递增区间为，kZ，令k0，可得g(x)的一个单调递增区间为.故选A9(2019山东济南二模)如图，半径为1的圆O中， A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设BOPx，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)在0,2上的图象大致为()答案A解析由余弦定理，得当0x时，|PB|
6、2sin，|PA|2cos，|PB|PA|2sin2cos2sin，当x2时，|PB|2sin，|PA|2cos，|PB|PA|2sin2cos2sin.故选A10(2020石家庄重点高中高三摸底)设f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，且满足xf(x)2f(x)0，若在ABC中，角C为钝角，则()Af(sinA)sin2Bf(sinB)sin2ABf(sinA)sin2Bf(sinB)cos2ADf(cosA)sin2B0时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增因为C，所以0AB，0AcosAcossinB0，所以F(cosA)F(sinB)，即，f(cosA)sin2Bf(sinB)
7、cos2A，故选C11(2019湖南十校联考)已知函数f(x)xsinx(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，则当y1时，的取值范围是()A BC1,33 D答案A解析函数f(x)xsinx(xR)为奇函数，又f(x)1cosx0，所以函数f(x)在实数范围内单调递增，则f(x24x1)f(y22y3)，即(x2)2(y1)21，当y1时表示的区域为半圆及其内部(如图阴影部分)，令k，其几何意义为过点(1,0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时kmin，斜率最大时直线刚好与半圆相切，切线方程为ykmax(x1)，圆心到切线的距离d1(kmax0)，解得k
8、max，即的取值范围是.故选A12(2019邯郸摸底)若函数f(x)恰有4个零点，则实数m的取值范围为()ABCD答案B解析令g(x)sin，h(x)cos，在同一直角坐标系中作出g(x)，h(x)在上的图象，如图所示g(x)在上的零点为，；h(x)在上的零点为，.由题f(x)在上恰有4个零点，结合图象可知，当m时，满足题意故选B二、填空题13(2019湖南衡阳模拟)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC，若|BC|1，则cos2sincos的值为_答案解析由221及点B在圆O上，知圆O为单位圆，所以OCB为正三角形，所以BOC，AOB，
9、由三角函数定义知sin，所以cos2sincoscossinsin.14(2019南昌二模)如图，有一块半径为20 m，圆心角AOB的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中AOCBOD)，某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是50元/m2、30元/m2、40元/m2.为使预计日总效益最大，COD的余弦值应等于_答案解析由题知半径r 20，设COD，则日总效益为f()r2sin5030r2404000sin2000，而f()4000cos2000，令f()0，可得cos，易知此时日
10、总效益f()取得最大值15(2019太原模拟)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，b2c2accosCc2cosAa2，SABC，则ABC周长的最小值为_答案33解析由b2c2accosCc2cosAa2，得b2c2a2c(acosCccosA)，结合余弦定理，得2bccosAc，即2bccosAcb，所以cosA，故A.又SABC，所以bcsinAbc，则bc32(1)2.又由余弦定理，得a2b2c22bccosAb2c2bcbc(1)2，当且仅当bc1时，a取得最小值1，所以abca23(1)，当且仅当abc1时取等号，所以ABC周长的最小值为33.16(2019郑州一模)如
11、图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域和区域，点C在上，COA，CDOA，其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成若AOB，OA1，则所需渔网的最大长度为_答案解析由CDOA，AOB，COA可得OCD，ODC，COD，在OCD中利用正弦定理可得CDsin，设渔网的长度为f()，则f()1sin，f()1cos，则，令f()0，则cos，.f()，f()随的变化情况如下：f()0f()极大值则f()，故所需渔网的最大长度为.三、解答题17(2019河北石家庄质检一)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ac)2b2aC(1)求cosB的值；
12、(2)若b，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求ABC的面积解(1)由(ac)2b2ac，可得a2c2b2aC，即cosB.(2)b，cosB，b213a2c2ac(ac)2ac，又sinA，sinB，sinC成等差数列，故2sinBsinAsinC，由正弦定理，得ac2b2，1352ac，ac12.由cosB，得sinB，ABC的面积SABCacsinB12.18已知函数f(x)sin(x)sincos2x(0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)若函数g(x)f(x)m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)f(x)sinxcosxsin2xcos2xsin，
13、函数f(x)的最小正周期T，故2，f(x)sin.令4xk，kZ，得x，kZ.故函数f(x)的对称轴为直线x，kZ.(2)函数g(x)f(x)m在区间上有两个零点即方程sin在区间上有两个不同的实根，即函数ysin与y的图象有两个不同的交点x，故4x，结合单调性可知，要使函数ysin与y的图象有两个不同的交点，则1，所以m.19(2019安徽六校联考二)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足1.(1)求A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，求函数y2sin2B2cosBcosC的值域解(1)由1，得1，因为A，B，C为ABC的内角，所以cosA，所以A.(2)因为ABC，A，
14、所以BC，则y2sin2B2cosBcosC1cos2B2cosBcossin，又ABC为锐角三角形，所以B，所以2B，所以sin，所以所求函数的值域为.20(2020云南师大附中月考)在公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值；(2)若函数y|a1|sin，|的一部分图象如图所示，M(1，|a1|)，N(3，|a1|)为图象上的两点，设MON，其中点O为坐标原点，0，求tan()的值解(1)由题可知a2a518，又a58a2，故a22，a1.(2)点M(1，|a1|)在函数y|a1|sin的图象上，sin1.又|，.如图，连接MN，在MON中，由余弦定理，得cos.又0BD10，由余弦定理知cos60，整理知(ABAD)21003ABAD，由基本不等式知ABAD2.2，解得ABAD20.故ABAD的取值范围为(10,20
