1、第一部分 高考专题讲解 专题五 数列、不等式、推理与证明第十四讲 推理与证明 推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中数学的各个章节，是高考必考的内容之一新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求因此在复习中要重视合情推理与演绎推理高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主考情分析要点串讲1.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠2.类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事
2、物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论3.演绎推理按照其形式可以分为四种：(1)假言推理；(2)关系推理；(3)三段论；(4)完全归纳推理其中最常见的形式是三段论三段论包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理对特殊情况作出的判断4.在数学证明中，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法它的基本思路是“由因导果”，即从已知看可知，再逐步推向未知的方法。综合法又叫做顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法5.分析法则是指从待证结论出发，一步一
3、步地寻求结论成立的充分条件，直到这个充分条件变成题目的已知条件或明显成立的结论，从而说明原命题成立的一种证明方法分析法的基本特点是“执果索因”，即从未知看需知，再逐步靠近已知分析法与综合法的证明思路恰好相反，综合法便于证明过程的叙述，而分析法则有利于寻找思路，两种方法各有所长，在解决具体问题时，可以综合运用6.数学中的命题，都有题设和结论两部分，当我们从题设去证明和推证结论不易进行时，我们可以从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个结论与题设矛盾(或与已知的定义、公理、定理相矛盾)，得出原结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的，这种间接证明的方法叫做反
4、证法一般地，当结论中出现“至多”、“至少”、“唯一”等词语，或者结论以否定语句出现，或者要证明的情况复杂时，都可以考虑用反证法.高频考点类型一 归纳推理【例 1】(2011陕西)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_解析 每个等式左边第一个数为 1,2,3,4，知第 n个式子第一个数为 n，且有 2n1 个数，故有第 n 个等式为：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2【探究 1】如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推设由正 n 边形“扩
5、展”而来的多边形的边数为 an，则 a6_；1a3 1a4 1a5 1a99_.解析：不难发现 a31234，a42045，a53056，由此猜测 ann(n1)，从而 a66742，注意到 1an1nn11n 1n1，于是1a3 1a4 1a5 1a99 1314 1415 199 1100 97300.答案：42 97300点评：解决这类问题可以通过观察，从试验特殊情况入手解题时可先取几个初始数进行探索，从特殊到一般进行归纳，从而猜想出一般规律，当然还需要再去验证这个一般规律是否正确有些探究规律型问题也可以从已知条件出发进行各种推理，经过一些步骤以后便能得到某些规律类型二 类比推理【例 2
6、】做下面的实验：假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度(浓度)是否改变？(1)将所有杯糖水倒在一起；将任意多杯糖水倒在一起(2)将一杯水中再加入一小匙糖，糖全部溶化，类比以上实验，你能得到数学上怎样的关系式？分析(1)由实验得糖水甜度不变，然后类比可得结论(2)归纳推理可得结论总结实验特征 归纳实验现象的本质 类比得等比定理和不等关系解(1)上述实验结果表明，将任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后，糖水甜度不变，据此类比，若将ab，cd，mn 看作倒前糖水的浓度，则倒后糖水的浓度为acmadn，即由abcdmn，可得acmbdnabcdmn(bdn0)(2)设一杯糖水的浓度为 ba
7、，加入糖的质量为m(m0)，则糖水全部溶解后浓度为 bmam，因糖水变甜，故可得到bmamba(ab，m0)由此类比可得到：数学上的等比定理，即若 ab cdmn，则acmbdnabcdmn；得到不等式，即若a，b都为正实数，且ab，m0，则有bmamba.点评(1)本题由实验过程猜测实数的等比定理及不等式关系，运用了归纳推理及类比推理的方法，有助于培养学生的实验能力与合情推理能力(2)归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某种相同的性质；从已知的相同性质推出一个明确表达的一般性命题(猜想)(3)类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质
8、，得出一个明确的命题(猜想)【探究2】(2010深圳模拟)在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则 1h2 1a2 1b2，由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则_解析：如图，在RtABC中，由等面积性，得 12 ab 12hc，即abhc，又c a2b2，所以a2b2h2(a2b2)，即 1h2a2b2a2b2 1a2 1b2.回顾上述解答过程，我们看到问题解决的关键是等面积性类比到空间，则是利用等体积性质如右图，设底面ABC的面积为S，则1312abc13Sh，另一方面ABC三边长分别为 a2b
9、2，a2c2，c2b2，由海伦公式求得S12a2b2b2c2c2a2，所以a2b2c2h2(a2b2b2c2c2a2)，即 1h2 1a2 1b21c2.答案：1h2 1a2 1b21c2点评：类比推理是合情推理中的一类重要思维，强调的是两类事物之间的相似性有共同要素是产生类比迁移的客观因素类比可以是概念、性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以是解题方法上的类似，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，如本题即属于此类一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线的横向类比以及平面与空间维度上的三角形与三棱锥的纵向类比等解决这类问题，
10、固然有思维方法上的因素，但更重要的还是掌握相关类比对象的概念、性质等类型三 抽象概括【例3】(2011江西)观察下列各式：553125,5615625,5778125，则52011的末四位数字为()A3125 B5625C0625 D8125解析 553125,5615625,5778125,58390625,591953125，52011最后四位应为每四个一循环，201145023，最后四位应为8125.答案 D类型四 直接证明与间接证明【例4】在数列an中，a11，an1114an，bn22an1，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求证：在数列an中对于任意的nN*，都有a
11、n1an；(3)设cn(2)bn，试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由分析(1)利用等差数列的定义，bn1bnd(d为常数)；(2)由(1)结论可得an的通项公式，进而证明结论成立；(3)先设cn中存在三项，再利用等差中项分析，讨论得结论定义法证明bn成等差数列 分析法证明不等式an1an 探索性问题的求解解(1)证明：bn1bn22an1122an1221 14an 122an1 4an2an1 22an1 2(nN*)数列bn是等差数列(2)证明：要证an1an，只要证an1an0.a11，b122a112，bn2(n1)22n.由
12、bn22an1，得2an1 2bn1n(nN*)，ann12n，an1an n22n1n12n 12nn10，在数列an中对于任意的nN*，都有an1an.(3)cn(2)bn2n，设cn中存在三项cm，cn，cp(mnp，m，n，pN*)成等差数列，则22n2m2p，2n12m2p,2nm112pm，为mn0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数 M，使得对于任意的 nN*，都有 anM.解(1)由h(x)x3xx知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点，因此，h(x)至少有两个零点解法1：h(x)3x2112x 12，记(x)
13、3x2112x12，则(x)6x14x32.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，330，则(x)在33，1 内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)(x1)0.所以，当x(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点好方法好成绩1.归纳推理与类比推理由某类事物的部分对象具有的某些性质，推出该
14、类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，成为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体、由个体到一般的推理由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2综合法与分析法分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件从而看出，分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一用综合法证题前往往用分析法寻找解题
15、思路，即所谓的“分析”因此，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，并且在解决较复杂问题时，往往是分析法与综合法相互结合使用3反证法反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立运用反证法的关键是导出矛盾.宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理(2)易导出与已知矛盾的命题(3)“否定性”命题(4)“唯一性”命题(5)“必然性”命题(6)“至多”、“至少”类命题.(7)涉及“无限
16、”结论的命题等等.高考陪练1.已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2 B3C4 D5解析：过点P作与、都成25的直线，其中在锐二面角l中有1条这样的直线，在钝二面角l中有2条这样的直线，所以共有3条直线与、成25角答案：B2给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a、bR，则ab0ab”类比推出“若a、bC，则ab0ab”；“若a、b、c、dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a、b、c、dQ，则ab 2cd 2ac，bd”；“若a、bR，则ab0ab”类比推出“若a、bC，则ab0ab
17、”其中类比结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：、是正确的，是错误的，因为虚数不能比较大小，如a56i，b46i，虽然满足ab10，但复数a与b不能比较大小答案：C3已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则 AGGD 2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM()A1 B2 C3 D4解析：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知dOM，设各个面的面积为S，则由等积法得413SOM13SAM,4OMAMAOOM，从而 AOOM313
18、.答案：C4在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为_解析：空间中，由正四面体棱长比为1:2，得高之比为1:2，底面积之比为1:4，所以体积之比为1:8.答案：185已知数列an满足 an1an1an1an1 n(nN*)，且a26，归纳猜想数列an的通项公式，并证明解：当n1时，a111(211)，当n2时，a262(221)，当n3时，a3153(231)，当n4时，a4284(241)，猜想得ann(2n1)下面用数学归纳法证明：当n1,2时，由上知结论成立假设当nk(k2且kN*)时，结论成立，即akk(2k1)，则当nk1时，ak1ak1ak1ak1kak1k1k1akk1k1k1k1k(2k1)k1k1k12k2k1k1(k1)2(k1)1即nk1时，结论也成立由知对任意nN*，结论均成立高考专题训练十四
