1、第一部分 高考专题讲解 专题三 直线、圆、圆锥曲线第九讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线与方程在高考中一般会出现两个小题，一个大题根据新课标考试大纲的要求可以看出：新课标淡化了双曲线与抛物线部分的要求，实际上间接地加强了椭圆部分的要求，所以复习时应加强对椭圆的定义、性质等基础知识的复习，并做适当的深化训练考情分析要点串讲1.圆 锥 曲 线 的 定 义：(1)椭 圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d.圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要特别注意定义中对常数的范围的要求2圆
2、锥曲线的标准方程是圆锥曲线中的一个基本问题，也是研究其几何性质的重要前提求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，抛物线的焦点是在 x 轴的正半轴、负半轴，还是 y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的 a2、b2、p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程3椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是 0e1.离心率的求解问题是本部分内容的一个重点，也是高考的热点在求解有关离心率的问题时，一般并
3、不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数 c、a、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围4与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线的双曲线方程也可设为x2a2y2b2(0)，渐近线方程为 ybax 的双曲线方程也可设为x2a2y2b2(0)要求双曲线x2a2y2b2(0)的渐近线，只需令 0 即可5已知过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p 或|AB|2psin2(为直线 AB 的倾斜角)，y1y2p2，x1x2p24.6若 P
4、是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2 的面积为b2tan2；若 P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上一点，F1，F2 是双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2 的面积为 b2tan2.7直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系8若直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线 P1P2 的斜率为 k，则弦长|P1P2|1k2|x1x2|1 1k2|y1y2|(k0)|x1x2|，|y1y2|的求法，通常使用
5、 根 与 系 数 的 关 系，需 要 作 下 列 变 形：|x1 x2|x1x224x1x2，|y1y2|y1y224y1y2.9与圆锥曲线的弦的中点有关的问题除了可以联立方程利用根与系数的关系外，还可以利用“点差法”，即设出弦的两个端点，并将其代入圆锥曲线方程作差分解因式，注意在作差的过程中要与直线的斜率联系起来，这样可以简化运算10求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点 P(x，y)依赖于另一动点
6、Q(x1，y1)，而 Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先写出关于 x1，y1的方程，再根据 x1，y1与 x，y 的关系求出P(x，y)的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；(5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.高频考点类型一 椭圆的标准方程及几何性质【例 1】如下图所示，椭圆上的点 M 与椭圆右焦点 F2 的连线 MF2 与 x 轴垂直，且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点连线 AB
7、平行(1)求椭圆的离心率 e；(2)F1 是椭圆左焦点，G 是椭圆上任一点，证明：F1GF22；(3)过 F2 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P，Q，若PF1Q 的面积是 20 3，求椭圆的方程分析 从 OMAB 入手，寻找 a，b，c 的关系式，进而求出离心率在焦点三角形中，用余弦定理求 cosF1GF2，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 SF1PQ12|F1F2|y1y2|.由kOMkAB建立a，b，c的关系式用余弦定理表示cosF1GF2，并求最值用代数式表示PF1Q的面积求出参数得方程解(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，M(c，yM)，右顶点 A(a,0)，
8、下顶点 B(0，b)，左焦点 F1(c,0)，右焦点 F2(c,0)，则 yMb 1c2a2b2a.又 OMAB，而 AB 的斜率是ba，yMc ba.由得b2acba，化简得 bc，eca 22.(2)证明：设F1GF2(0b0)的离心率为 22，点 A(a,0)，B(0，b)，原点 O 到直线 AB 的距离为2 33.(1)求椭圆 M 的方程；(2)设点 C 为(a,0)，点 P 在椭圆 M 上(与 A、C 均不重合)，点 E 在直线 PC 上，若直线 PA 的方程为 ykx4，且PC BE 0，试求直线 BE 的方程分析：本题是椭圆的相关问题，求解时要分清问题条件，正确进行求解对于第(1
9、)问，由条件列出参数 a，b的方程组，解之即可；对于第(2)问，先利用条件求出直线 BE 的斜率，再由点斜式写出直线 BE 的方程解：(1)由 e2c2a2a2b2a21b2a212，得 a 2b.由点 A(a,0)，B(0，b)知直线 AB 的方程为xa yb1，即 x 2y 2b0.又|00 2b|12 22 2b3 2 33，所以 b 2.所以 b22，a24，所以椭圆 M 的方程为x24 y221.(2)由(1)知 A、B 的坐标依次为(2,0)、(0，2)因为直线 PA 经过点 A(2,0)，所以 02k4，得 k2，即得直线 PA 的方程为 y2x4.因为PCBE 0，所以 kPC
10、kBE1，即 kBE 1kPC.设 P 的坐标为(x0，y0)，则 kPAkPC y0 x02 y0 x02y20 x204122kPC，得 1kPC4，即直线 BE 的斜率为 4.又点 B 的坐标为(0，2)，因此直线 BE 的方程为 y4x 2.点评：本题是一道椭圆的常规性综合问题对于第(2)问，求解直线 BE 的斜率是解决问题的关键，要先求出直线 PC 的斜率，再由PC BE 0 求出直线 BE 的斜率这里要把握住PC BE 0 的几何意义，即直线 CP 与直线 BE垂直，则它们的斜率互为负倒数，把握住这一点，问题就容易解决了类型二 双曲线的标准方程和几何性质【例 2】如下图所示，双曲线
11、的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1，F2 分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点 P，F1PF23，且PF1F2的面积为 2 3，又双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程分析 设出双曲线的标准方程，结合题意列出关于a，b 的方程组或先借助 eca2 及 a2b2c2找出 a 与 b的关系(达到消元目的)解此题的关键是用好PF1F2 的面积为 2 3这一条件解 设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，F1(c,0)，F2(c,0)设 P(x0，y0)在PF1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos3(|PF1|PF2|)2|PF1|
12、PF2|.即 4c24a2|PF1|PF2|.又SPF1F22 3，12|PF1|PF2|sin32 3.|PF1|PF2|8.4c24a28，即 b22.又eca2，a223.所求双曲线的方程为3x22 y22 1.点评 待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一(1)与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线方程可表示为x2a2y2b2t(t0)(2)若双曲线的渐近线方程是 ybax，则双曲线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0)(3)与双曲线x2a2y2b21 有共同焦点的双曲线方程可表示为 x2a2k y2b2k1(b2ka2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为x2my2
13、n1(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 x2a2 y2b21(b2a0)，O 为坐标原点，离心率 e2，点 M(5，3)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)若直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且OP OQ 0.求：|OP|2|OQ|2 的最小值解：(1)e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为x2a2 y23a21，即 3x2y23a2.点 M(5，3)在双曲线上，1533a2，a24.所求双曲线的方程为 3x2y212.(2)设直线 OP 的方程为 ykx(x0)，联立 3x2y212，得x2 123k2y2 12k23k2，|OP|2x2y212k213k2.则 OQ
14、的方程为 y1kx，有|OQ|2121 1k23 1k212k213k21，1|OP|21|OQ|23k23k2112k21 22k212k2116，设|OP|2|OQ|2t，则t1|OP|21|OQ|2 2|OQ|OP|2|OP|OQ|2224，t41624.即|OP|2|OQ|224(当且仅当|OP|OQ|2 3时取等号)当|OP|OQ|2 3时，|OP|2|OQ|2 有最小值 24.类型三 抛物线的标准方程及几何性质【例 3】已知 A，B 是抛物线 x22py(p0)上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量OA，OB 满足|OA OB|OA OB|.(1)求证：直线 AB 经过一定点；(2
15、)当 AB 的中点到直线 y2x0 的距离的最小值为2 55 时，求 p 的值解(1)证明：|OA OB|OA OB|，OAOB.设 A，B 两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x212py1，x222py2.经过 A，B 两点的直线方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)由 y1x212p，y2x222p，得(x2x1)(yy1)x222px212p(xx1)x1x2，yy1x2x12p(xx1)令 x0，得 yy1x2x12p(x1)，yx1x22p.OAOB，x1x2y1y20，从而 x1x2x21x224p2 0.x1x20(否则，OA，OB 至少有一个为零向量)
16、，x1x24p2.代入，得 y2p，AB 始终经过定点(0,2p)(2)设 AB 中点的坐标为(x，y)，则 x1x22x，y1y22y，x21x222py12py22p(y1y2)又x21x22(x1x2)22x1x2(x1x2)28p2，4x28p24py，即 y1px22p.又 AB 的中点到直线 y2x0 的距离 d|y2x|5.将 代入，得 d|1px22p2x|5|1pxp2p|51pxp2p5.d 的最小值为2 55，p52 55，p2.【探究 3】已知抛物线 C：y22px(p0)上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 ykxb 与抛物
17、线 C 交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|y1y2|a(a0，且 a 为常数)过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线于点 D，连接 AD、BD 得到ABD.求证：a2k216(1kb)；ABD 的面积为定值分析：本题是抛物线的综合问题对于第(1)问，直接由条件可得；对于第(2)问，首先建立方程组求得 y1y24k，y1y24bk，再利用条件|y1y2|a 即可证明之；先求 DM 的长，再求出 SABD，最后根据条件作出判断解：(1)依题意得 4p25，解得 p2，所以抛物线方程为 y24x.(2)证明：由方程组ykxb，y24x，消去 x 得 ky24y4b0.
18、(*)依题意可知 k0.由已知得 y1y24k，y1y24bk.由|y1y2|a，得(y1y2)24y1y2a2，即16k216bk a2，整理得 1616kba2k2.所以 a2k216(1kb)又 AB 中点 M2bkk2，2k，所以点 D1k2，2k.依题意知 SABD12|DM|y1y2|12|1bkk2|a.又因为方程(*)中判别式 1616kb0，得 1kb0，所以 SABD121bkk2a.又知1bkk2a216，所以 SABD12a216aa332.又 a 为常数，故 SABD的面积为定值点评：本题中主要考查方程(组)思想的应用，对此一要在思想上给予足够的重视，二要在训练中掌握
19、牢固，三要在具体操作中细心准确很多同学常常在计算的环节出现失误造成不必要的失分.好方法好成绩1.抛物线焦点弦的性质直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于A、B 两点，则有：(1)通径的长为 2p.(2)焦点弦公式：|AB|x1x2p.(3)x1x2p24，y1y2p2.(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切2求轨迹方程的常用方法(1)轨迹法：建系设动点列几何等式坐标代入得方程化简方程除去不符合题意的点作答(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的运动而动时用此法代入法的步骤：设出两动点坐标(x，y)，(x0，y0)结合
20、已知找出 x，y 与 x0，y0的关系，并用 x，y 表示 x0，y0.将 x0，y0 代入它满足的曲线方程，得到 x，y 的关系式即为所求(4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程3有关弦的中点问题(1)通法(2)“点差法”点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率点差法的步骤：将两交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程作差消去常数项得到关于 x1x2，x1x2，y1y2，y1y2 的关系式应用斜率公式及中点坐标公式求解4解决直线与圆锥曲线问题的通法(1)设方程及点的坐标(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(3)应用韦达定
21、理及判别式(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解弦长公式：|AB|1k2x1x224x1x2.5椭圆焦点三角形的面积的一般式如果在椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点三角形 PF1F2中，F1PF2，点 P 坐标为(x0，y0)，则这个三角形的面积 SPF1F2c|y0|b2tan2.证明：SPF1F212|F1F2|y0|c|y0|.在PF1F2中，根据椭圆定义，有|PF1|PF2|2a，平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，根据 余弦定理得|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos4c2，得(1cos)|PF1|PF2|2b2，即|PF1
22、|PF2|2b21cos.根据三角形面积公式 SPF1F212|PF1|PF2|sin122b21cossinb2sin1cos，又因为sin1cos2sin2cos22cos22sin2cos2，所以 SPF1F2b2tan2.注：(1)这个结论说明在焦点三角形的顶角固定的情况下，这个三角形的面积仅与椭圆的短半轴的长短有关；(2)由于 SPF1F2c|y0|b2tan2，故 tan2c|y0|b2 cbb2cb，当且仅当|y0|b 时等号成立，即 tan2的最大值在|y0|b 时成立由于 tan2在(0，)上单调递增，当且仅当点P 为椭圆的短轴端点时 取得最大值，也即椭圆上与两个焦点连线所成
23、夹角最大的点是椭圆短轴的两个端点6双曲线的焦点三角形双曲线上的点 P 和两个焦点 F1，F2所构成的三角形称为双曲线的焦点三角形在这个三角形中除了可以根据正弦定理建立等式外还有如下一个重要结论：若F1PF2，则 SF1PF2 b2tan2.证明如下：在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|F1F2|24c2，又由双曲线的定义，得(|PF1|PF2|)24a2，两式相减，得 2|PF1|PF2|(1cos)4(c2a2)4b2，所以|PF1|PF2|2b21cos，所以F1PF2 的面积 S12|PF1|PF2|sin b2sin1cosb22sin2
24、cos22sin22 b2tan2.高考陪练1.(2011山东)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25 y241 B.x24 y251C.x23 y261 D.x26 y231解析：圆 C：标准方程(x3)2y24，圆心(3,0)，双曲线右焦点(3,0)，令双曲线渐近线 ybax 与圆相切，则 bxay0，|3b|a2b22,4a25b2，选 A.答案：A 2(2011湖南)设双曲线x2a2y29 1(a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为()A4 B3C2 D1解析
25、：双曲线x2a2y29 1 的渐近线方程为xay30，即3xay0，故 a2.答案：C 3(2011安徽)双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2C4 D4 2解析：原式可化为：x24 y28 1，a24，a2,2a4.答案：C 4(2011课标)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()A.2B.3C2 D3解析：不妨设双曲线为x2a2y2b21，则可得|AB|2b2a，于是2b2a 4a，b22a2，c23a2，c 3a，所以 eca3.答案：B 5(2011陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x解析：由p22，p4，则方程为 y28x.答案：B 高考专题训练九
