1、第一部分 高考专题讲解 专题一 集合、函数与导数第二讲 基本初等函数的图象与性质函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以选择题或填空题的形式进行考查考情分析对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查考情分析要点串讲1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1
2、；a0中a不等于0；注意实际问题中变量的范围等2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)：(1)定义法，即作差法(主要步骤为：取值作差变形判符号下结论)；(2)图象法；(3)单调性的运算性质(实质上是不等式的性质)；(4)复合函数的单调性判断法则；(5)导数法3判断一个函数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0，灵活使用这一结论可以简化运算过
3、程若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性4解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法5函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值，若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，|ba|是它的
4、一个周期；若f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；若f(xa)1fx(a0且f(x)0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；若f(xa)1fx1fx(a0且f(x)1)，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期6有关对称性的几个重要结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(xa)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线xab2对称特别地，若f(ax)f(ax)，函数f(x)的图象关于直线xa对称；若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于点ab2，0 中心对称特别地，若f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于点(a
5、,0)中心对称7对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则f(x)为周期函数，且4|ba|是它的一个周期.高频考点类型一 函数的图象与性质【例1】(2011安徽)函数f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图象如图所示，则m，n的值可能是()Am1，n1 Bm1，n2Cm2，n1Dm3，n1
6、解析 由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5.答案 B【探究1】(2011浙江)设函数f(x)x，x0，x2，x0.若f()4，则实数()A4或2 B4或2C2或4 D2或2解析：若0，则f()24，2.若0，则f()4，4.答案：B类型二 分段函数及其应用【例2】(2011陕西)设f(x)lgx，x0，x0a3t2dt，x0，若f(f(1)1，则a_.解析 f10，ff1f0a31，a1.答案 1【探究2】函数yf(x)(xR)满足：对一切xR，f(x)0，f(x1)7f2x；当x0,1)时，f(x)x20 x 525 52x1，则f(2011 3)()A2
7、2 33 B2 3C.2D2 3解析：由f(x1)7f2x知f2(x1)f2(x)7.故f2(2011 3)f2(2010 3)7.f2(2010 3)f2(2009 3)7，f2(2009 3)f2(2008 3)7，f2(2008 3)f2(2007 3)7，f2(3 3)f2(2 3)7，把以上各式累加可知：f2(2011 3)f2(2 3)7，故f2(2011 3)7f2(2 3)7(5)22，又f(x)0，所以f(2011 3)2，故选C.答案：C类型三 函数的奇偶性、单调性及其应用【例3】(2011山西模拟)已知函数f(x)1x2|x2a|(常数aR)(1)求函数f(x)的定义域，
8、判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)若f(1)4，试研究函数f(x)在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明分析 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性解(1)定义域为：(，0)(0，)；f(x)1x2|(x)2a|1x2|x2a|f(x)，f(x)是偶函数(2)由f(1)4，得1|1a|4，解得a4(a2舍去)，这时f(x)1x2|x24|，故f(x)1x2x24x2或x21x2x242x2且x0当 x2 或 x2 时，f(x)1x2x24，设 2x1x2，f(x1)f(x2)1x21x21 1x22x22(x22x21)(1x21x221)，由 2x116 1x21x220，f(x1
9、)f(x2)，f(x)在2，)上是增函数；又 f(x)是偶函数，f(x)在(，2上是减函数；当2x2(x0)时，f(x)1x2x24，设 0 x1x20，f(x)在(0,2)上是减函数，又 f(x)是偶函数，于是 f(x)在(2,0)上是增函数综上所述，函数 f(x)在2，)和(2,0)上是增函数；在(，2和(0,2)上是减函数点评 证明函数的单调性务必回到定义，因为定义揭示了概念的本质，其关键是对f(x1)f(x2)的表达式进行合理地变形，以有利于判断出其符号常用的变形方法有：因式分解法、配方法、分子分母有理化等类型四 函数的周期性及其应用【例4】(山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x
10、)log21x，x0，fx1fx2，x0，)则f(2009)的值为()A1 B0C1 D2分析 先由条件，通过计算找到规律，然后归纳确定函数的周期，最后求出函数值解析 由已知，得f(1)log221，f(0)0，故f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，故当x1,2,3,4，时，f(x)的取值依次是1，1,0,1,1,0，1，1，0,1,1，即当x取整数时，数列f(x)是以6为周期的周期数列，故f(2009)f(5)1.故选C.答案 C点评 本题会由于
11、计算不到位，找不到函数取值的规律，这样就不能通过归纳得出函数的周期因此，考场上要耐心计算、细心观察、不断归纳，对于解题来说是非常重要的这也是命题者要考查考生心理素质的一个方面【探究3】已知函数f(x)满足f(x1)1fx1fx，若f(0)2004，则f(2005)_.解析：f(x1)1fx1fx，f(x2)1fx11fx111fx1fx11fx1fx 1fx，f(x4)f(x)，即函数的周期为4.又f(0)2004，f(2005)f(20041)f(1)1f01f020052003.答案：20052003点评：对于函数求值的考查一般都牵涉到函数的周期性、奇偶性等性质解决此类问题的一般思路是：先
12、根据所给条件求出函数的周期，把较大的自变量的值转化为较小的自变量的值，达到“化繁为简”的目的有时候还要根据函数的奇偶性进行求值常见函数的周期性问题的结论有：f(xc)f(x)2c是f(x)的一个周期；f(xc)1fx2c是f(x的一个周期；f(xc)1fx1fx4c是f(x)的一个周期等类型五 抽象函数的相关性质及其应用【例5】(2011济宁市高三3月模拟)设yf(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于函数yf(x)的判断：yf(x)是周期函数；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)在0,1上是增函数；f12 0.其中正确判断的序号是_(把你
13、认为正确判断的序号都填上)解析 fx2fx1fx，故fx是周期函数，2是它的一个周期，对.又fx为偶函数，对.fx在1，0上是增函数，则在0，1上是减函数，错.令x12，则f12 f12 f12 0，故f12 0，对.故填.答案【探究4】定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则f(3)_.分析：先用特殊值法求一些关键的函数值，再利用函数值的递推关系，逐步靠到f(3)上去解析：令xy0f(0)0，令xy1f(2)2f(1)26，令x2，y1f(3)f(2)f(1)412，再令x3，y3f(0)f(33)f(3)f(3)180f(3)18f(3)6.
14、答案：6点评：本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的，这类问题的化解方法一般是根据所给抽象函数的性质，通过观察其特殊性先求出一个特殊值，这往往就是解题的突破口本题根据特殊值求出f(0)后，令yx就得到了一个关系式f(0)f(x)f(x)2x2，只要能求出f(x)就能求出f(x)，因此可以把问题归结为求f(3)的值，而在函数性质中只要令y1就得到了函数之间的关系式f(x1)f(x)f(1)2x，根据f(1)的值不难求出f(3)的值，问题的难点就化解了因此解决抽象函数问题利用特殊值是一个重要方法【探究5】f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当
15、f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，)B(8,9C8,9 D(0,8)分析：将不等式中的2用函数值表示出来，再根据函数f(x)的单调性将其转化为一般的代数不等式解决解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故选B.答案：B点评：本题的难点是必须把f(x)f(x8)2中的函数记号去掉，转化为一般的代数不等式化解这个难点就要根据f(xy)f(x)f(y)，f(3)1和函数的单调性进行转换解决抽象函数问题要善于类比，本题就可以类比对数函数的性质寻找解决问题
16、的方法实际上本题就是以对数函数为特征抽象出来的一个问题.好方法好成绩 怎样利用周期法解题有些数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解下面举例说明如下【例1】设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x，则f(7.5)等于()A0.5B 0.5C1.5D1.5解析 f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)是以4为一个周期的函数由于f(x)是奇函数，且0 x1时，f(x)x，可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B.答案 B【例2】设对任意整数x，f(x)f(x1)f(x1
17、)，且f(0)19，f(4)93，则f(59)_.解析 f(x)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x)f(x2)，两式相加并整理得f(x1)f(x2)，f(x)f(x3)，f(x6)f(x3)f(x)从而f(x)是以6为周期的函数 f(59)f(695)f(5)f(4)f(6)f(4)f(0)112.答案 112【例3】函数f(x)在R上有定义，且满足(1)f(x)是偶函数，且f(0)993；(2)g(x)f(x1)是奇函数，试求f(1992)的值解 f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，又g(x)f(x1)是奇函数，f(x1)f(x1)，即f(x)f(x2)，代入得f(x)f(x2)，f
18、(x2)f(x)，从而f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的函数，f(1992)f(4498)f(0)993.高考陪练1.(2011北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)cx，x4，f(4)30 c430，c60，又f(A)15，60A15，A16.答案：D2(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3B1C1D3解析：由已知：f(1)f(1)，f(1)f(1)而f(1)2(1)2(1)3，f(1)3.答案：A3(2011上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数是()Ay
19、ln 1|x|Byx3Cy2|x|Dycosx解析：yln 1|x|为偶函数x0时，yln1x lnx在(0，)上为减函数，故A正确答案：A4(2011天津)对实数a和b，定义运算“”：aba，ab1，b，ab1.设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2)1，32B(，21，34C.1，14 14，D.1，34 14，解析：aba，ab1b，ab1f(x)(x22)(xx2)x22，1x32xx2，x32.作出函数f(x)的图象如下图由图象可知yf(x)c与x轴恰有两个公共点，由图象可知c(，21，34.答案：B5(2011课标)函数y11x 的图象与函数y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4C6 D8解析：两函数图象如图，共有8个交点，均关于(1,0)中心对称，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D高考专题训练二
