1、练典型习题提数学素养1(2019武汉市调研测试)已知椭圆：1(ab0)的左顶点为M(2，0)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，当取得最大值时，求MAB的面积解：(1)由题意得a2，得c，所以a2b22，即4b22，所以b22，所以椭圆的方程为1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(2，0)，B(2，0)，则点M与点A重合，0，所以0.当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为xty1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由，得(t22)y22ty30，显然0，所以y3y4，y3y4，所以(x32)(x42)y3y4(ty33)(ty43)y3y
2、4(t21)y3y43t(y3y4)9(t21)3t999.所以的最大值为，此时t0，l：x1，不妨取A，B，则|AB|，又|MN|3，所以MAB的面积S|AB|MN|3.2(2019安徽五校联盟第二次质检)已知A，B是x轴正半轴上的两点(A在B的左侧)，且|AB|a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y22px(p0)在第一象限分别交于D，C两点(1)若ap，点A与抛物线y22px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围解：(1)由题意知A，则B，D，则C，又ap，所以kCD1.(2)设直线CD的方程为ykxb(
3、k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得ky22py2pb0，所以4p28pkb0，得kb0，y1y20，可知k0，b0，因为|CD|x1x2|a，点O到直线CD的距离d，所以S1aab.又S2|x1x2|a，所以，因为0kb，所以00)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点(1)若p2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程；(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x1t(y1)，即xty1t，设A(x1，y1
4、)，B(x2，y2)由，得y24ty44t0，所以16t21616t16(t2t1)0，y1y24t，所以4t2，即t.所以直线l的方程为2xy10.(2)为定值2p，证明如下因为抛物线C：y22px(p0)，所以焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，因为直线l过焦点F，故设直线l的方程为xty(t0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y22ptyp20，所以y1y22pt，4p2t24p20.所以x1x2t(y1y2)p2pt2p，所以M(pt2，pt)所以MN的方程为yptt(xpt2)令y0，解得xpt2，N(pt2，0)，所以|MN|2p2p2t2，|FN|pt2
5、pt2p，所以2p.4(2019湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e得a2c.由|BF|BA|2，得a2，所以ab2.a2b2c2，由可得a24，b23，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由得，(34k2)x216kx40，可知0，所以k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)因为菱形的对角线互相垂直，所以()0，所以(1k2)(x1x2)4k2m0，得m，即m，因为k，所以m0(当且仅当4k时，等号成立)所以存在满足条件的实数m，m的取值范围为，0)
