1、【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【热点题型】题型一 正、余弦定理的简单运用【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a2，b，A45，则c_(2)若(abc)(abc)ac，则B_解析(1)法一在ABC中，由正弦定理得sin B，因为ba，所以BA，所以B30，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.故c3.【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，
2、或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制【举一反三】 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，A60，b1，SABC，则_题型二 正、余弦定理的综合运用【例2】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a3，cos A，BA.(
3、1)求b的值；(2)求ABC的面积解(1)在ABC中，由题意知，sin A，因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理，得b3.(2)由BA，得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等【举一反三】 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，
4、求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值解(1)由题意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得：sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.题型三 正、余弦
5、定理在实际问题中的应用【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未
6、知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【举一反三】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100(m)在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得，因此AM100(m)在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60，得MN100150(m)答案150【高考风向标】【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶
7、，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_m. 【答案】.【解析】在中，根据正弦定理知，即，所以，故应填.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设的内角的对边分别为.（I）证明：；(II) 若，且为钝角，求.【答案】（I）略；(II) 【解析】（）由及正弦定理，得，所以。（）因为 有（）知，因此，又为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，【2015高考陕西，文17】的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求；(II)若求的面积.【答案】(I) ；(II) .【解析】 (I)因为，所以由正弦定理，得，又，从而，
8、由于所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因为，所以，故面积为.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)【解析】 (1)由，得，所以.(2)由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.【高考押题】 1在ABC中，若a4，b3，cos A，则B()A. B. C. D. 解析因为cos A，所以sin A，由正弦定理，得，所以sin B，又因为ba，所以B，B，故选A.答案A2在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为 ()A. B. C2 D2 解析因为SABACsin A
9、2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为 ()A22 B.1 C22 D.1 解析由正弦定理及已知条件，得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案B4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意，由a2bcos C及正弦定理，得sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csi
10、n Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos Csin(CB)0，CB，ABC是等腰三角形；反过来，由ABC是等腰三角形不能得知CB，a2bcos C因此，“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案A5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于 ()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案C6
11、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或7在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_解析由已知及余弦定理得bc2b，化简得a2b，则2.答案28设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_9如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC. (1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sin CBA，求BC的长解(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sin CAD，sin BAD.于是sin sin(BADCAD)sin BADcosCADcosBADsin CAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.10设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值
