1、曲线运动万 有 引 力 定 律4 万有引力定律及其应用第四章一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都是 的，引力的方向沿两物体的连线方向，引力的大小跟它们的质量的乘积成 比，跟它们之间的距离的平方成 比.相互吸引正反2.表达式：(1)G 为 引 力 常 量,G=6.6710-11Nm2/kg2(2)该表达式适用于计算两质点间的万有引力，当两物体间的距离远大于物体本身的几何尺寸时，物体可视为质点.(3)当两物体为质量分布均匀的球体时，也可用该表达式进行计算，此时r为两球的球心距离.122Gm mFr二、万有引力定律在天体运动中的应用1.基本模型：一般将行星或卫星的运动看做绕中心天体的匀速
2、圆周运动，其向心力由绕行天体与中心天体间的万有引力来提供.2.行星运动各物理量与轨道半径的关系：(1)线速度与半径：v=22MmvGmrrGMr(2)角速度与半径：=(3)周期与半径：T=3.黄金代换：在天体表面，可近似认为 .3GMr22MmGmrr222()MmGmrrT234rGM2MmGmgR2GMgR 利用万有引力定律求解万有引力的大小 如图4-4-2所示，在半径为R=20cm,质量为M=165kg的均匀铜球中挖去一球形空穴，空穴的半径为R/2,并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m=1kg的均匀小球，这小球位于连接铜球中心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距d=2m,试求它们
3、之间的相互吸引力.图4-4-2 设被挖去部分质量为M，则 ，所以 ，即M=挖去球形空穴的铜球与m之间的万有引力F，可看成实心铜球与m的引力F1和被挖去的球形小球与m的引力F2之差，即F=F1-F2.代入数据可得F=2.3610-9N.3342RM 343MR18MM 8M2222/28/2MmM mMmMmFGGGGdddRdR 正确理解万有引力表达式适用条件是应用它的先决条件.本题中球体为匀质球体，它们之间的作用力符合万有引力表达式的适用条件，本题还运用等效割补方法进行转换，使问题更简便得以解决.点评随着天文学的高速发展，太阳系以外的行星不断被发现，2010年科学家发现一颗奇特的行星，由于靠
4、恒星太近，行星表面的固体升华为气体，到达高空凝华为固体落下，设该行星质量M=21026kg，高空中凝结出的一块石头质量为5kg，距离行星中心105km，已知万有引力常量G6.710-11Nm2/kg2，求石头所受引力多大(结果取两位有效数字)石头所受引力261128 22 105FG6.7 106.7.(10)MmNr 天体的运动学参量与轨道半径之间的关系我国发射的“神舟七号”宇宙飞船绕地球的运动周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是()A.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径B.飞船的运动速度小于同步卫星的运行速
5、度C.飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度D.飞船运动的角速度小于同步卫星运动的角速度 同步卫星的周期24h，大于飞船的运行周期90min，由飞船运行周期与轨道半径关系式可知：若轨道半径越小，则运行速度越大、角速度越大、向心加速度越大、周期越短，结合题意知同步卫星轨道半径大，故选项C正确.弄清地球人造卫星运行线速度、角速度、加速度、周期等与轨道半径之间的直接联系，从而掌握线速度、角速度、加速度和周期之间的间接关系，从而延伸到同一被环绕体的不同卫星的情景中点评 (1)三颗人造地球卫星a、b、c在同一平面内沿不同轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同,已知RaRbRc.如图4-4-3
6、所示，在某一时刻，它们正好运行到同一直线上.那么再经过卫星a的四分之一周期时，卫星a、b、c的新位置可能是下图中的()图4-4-3(2)我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经70到东经135之间，所以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万千米、东经100附近.假设某通信卫星计划定点在赤道上空东经104的位置，经测量刚进入轨道时位于赤道上空3.6万千米、东经103处，为了把它调整到104处，可以短时间启动卫星上的小型喷气发动机调整卫星的高度，改变其周期，使其“漂移”到预定经度后，再短时间启动发动机调整卫星的高度，实现定点，两次调整高度的方向依次是()A.向下、向上 B.向上、向下C.
7、向上、向上 D.向下、向下(2)同步卫星随地球自转的方向是从西向东，把同步卫星从赤道上空3.6万千米、东经103处，相对于地球沿前进方向移动位置，需要增大相对速度，所以应先下降高度增大速度到某一位置再上升到原来的高度 应用万有引力定律求天体质量 我国已经启动“嫦娥探月工程”，2007年发射绕月球飞行的“嫦娥一号”，2010年年底实现登月飞行，若在月球表面上，宇航员测出小物块自由下落h高度所用的时间为t,当飞船在靠近月球表面的圆轨道上飞行时，测得其环绕周期为T，已知万有引力常量为G，根据上述物理量，求月球的质量M 设月球表面的重力加速度为g，月球质量为M，月球半径为R，飞船质量为m，对物块 其中
8、 =mg 对飞船 由解得212hgt2GMmR222()GMmmRRT344 62h TMGt为了对火星及其周围的空间环境进行探测，2011 年 11 月 8 日，我国“萤火一号”火星探测器搭载在俄罗斯“福布斯土壤”探测器内部，由俄罗斯天顶号运载火箭在哈萨克斯坦拜科努尔发射场发射.11 月 9 日，因俄方探测器变轨失败，该火星探测项目被迫告终假设某天我国自行发射的“萤火二号”探测器在离火星表面高度分别为 h1 和 h2 的圆轨道上运动时，周期分别为 T1 和 T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为 G.仅利用以上数据，可以计算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤火二号”的引力C火星的半径和“萤火二号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火二号”的引力设火星质量为 M，半径为 R，“萤火二号”的质量为 m，则有GMmRh12m(2T1)2(Rh1)GMmRh22m(2T2)2(Rh2)联立两式可求得 M、R，由此可进一步求出火星密度，由于 mgGMmR2，则 gGMR2，显然火星表面的重力加速度也可求出，正确答案为 A.由于无法求出“萤火二号”的质量，故引力也无法求得，B、C、D 均错误
